2018年湖南大学经济与贸易学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 某城市中共发行3种报纸A , B , C ，在这城市的居民中有订阅C 报，
同时订阅A 报B 报、
同时订阅A 报C 报、
订阅A , B , C 报，求以下事件的概率:
（1）只订阅A 报的； （2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的. 【答案】仍用
A ，B ，C
分别表示订阅
（2）因为P （只订阅一种报纸）
，其中
A ，B ，C
报，
则
订阅A 报、
订阅B 报、
同时
同时订阅B 报C 报、
（1）P （只订阅A 报）=
，
所以
P （只订阅一种报纸）=0.30+0.23+0.20=0.73.
（3）P （至少订阅一种报纸）
（4）P （不订阅任何一种报纸）=
2． 设总体为韦布尔分布
其密度函数为
现从中得到样本
证明
仍服从韦布尔分布，并指出其参数.
为
因而最小次序统计量
的分布函数为
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【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数
这说明.
3． 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8, 而活到15岁的概率为0.5. 问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？
【答案】记T 为此种动物的寿命，由题意知
. 所以
4． 设X 服从泊松分布，且已知
【答案】由
5． 设总体X 服从二项分布与p 的矩估计.
【答案】因为有两个未知参数，所以要用1, 2阶原点矩. 由二项分布可知
解方程组
将第一式代入第二式，有:
所以
用
分别代入上式的
得
代入第一式，得
因为m 为正整数，故
其中表示取整数.
6． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了解其平均寿命，从中抽出n 件产品测其实际使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布.
【答案】总体是该厂生产的电容器的寿命全体，或者可以说总体是指数分布，其分布为
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. 又因为
求
得
，从中解得
，由此得
其中为未知参数，为X 的一个样本，求m
样本是该厂中抽出的n 个电容器的寿命； 记第i 个电容器的寿命为Xi , 则样本
的分布为
其中
7． 设X 是只取自然数为值的离散随机变量. 若X 的分布具有元记忆性，即对任意自然数n 与m , 都有
【答案】由无记忆性知
或
若把n 换成n —1仍有
上两式相减可得
若取n=m=l, 并设若取n=2，m=l，可得
若令
，则用数学归纳法可推得
这表明X 的分布就是几何分布.
8． 设
是来自.
的样本，考虑如下假设检验问题
确定.
，n 最小应取多少？
，则有
，则X 的分布一定是几何分布.
若检验由拒绝域为
（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明:当
时，
.
【答案】 （1）由定义知，犯第一类错误的概率为
这是因为在
成立下，
，而犯第二类错误的概率为
这是因为在
成立下.
（2）若使犯第二类错误的概率满足
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