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一、计算题

1． 一辆重型货车去边远山区送货. 修理工告诉司机，由于车上六个轮胎都是旧的，前面两个轮胎损坏的概率都是0.1，后面四个轮胎损坏的概率都是0.2, 你能告诉司机，此车在途中因轮胎损坏而发生故障的概率是多少吗？

【答案】此车在途中因轮胎损坏而发生故障意味着车上的六个轮胎至少有一个发生故障， 为此记事件为“第i 个轮胎发生故障”，其中i=l，2, 表示前面两个轮胎，i=3, 4, 5, 6表示后面四个轮胎，

则

.

又假设车上的六个轮胎工作是独立的，则所求概率为

2． 设连续随机变量X 的分布函数为

试求 （1）系数A ; （2）X 落在区间（3）X 的密度函数. 【答案】（1）由（2）

（3）X 的密度函数（如图1）为

的连续性，有

. ’

，由此解得A=l.

内的概率；

图1

3． 设有容量为n 的样本A ，它的样本均值为

. 现对样本中每一个观测值施行如下变换准差、极差和中位数.

【答案】不妨设样本A 为

样本标准差为样本极差为

样本中位数为

如此得到样本B ，试写出样本B 的均值、标

样本B 为

且

因而

4．

某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过根，

测得样本标准差为批导线的标准差显著地偏大？

【答案】本题是单侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为

，查表知，拒绝域为若取

由所给条件可得出检验统计量为

因此拒绝

在显著性水平

下认为这批导线的标准差显著地偏大.

5． 为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，，选取了15个男子（他们的生活条件各不相同）每人穿着一双新鞋，其中一只是以材料A 做后跟，另一只以材料B 做后跟，其厚度均为10mm , 过了一个月再测量厚度，得到数据如下:

表

问是否可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿？ （1）设

来自正态总体，结论是什么？

（2）采用符号秩和检验方法检验，结论是什么？

今在一批导线中随机抽取样品9

下能否认为这

，设总体为正态分布，问在显著性水平

，

【答案】 （1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，以记差值d 的均值， 则需检验的假设为由于

于是检验的p 值为

p 值小于0.05, 在显著性水平0.05下可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿. （2）由于两个负的差值的秩分别为5和6.5, 故符号秩和检验统计量为在使用中是完全等价的），这是一个单边假设检验，检验拒绝域为

下，可知

跟比材料B 的耐穿，二者结果一致

6． 求掷n 颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.

【答案】记

为第颗骰子出现的点数，

分布列为

表

所以

由此得

7． 若一次电话通话时间X （单位:min ）服从参数为0.25的指数分布，试求一次通话的平均时间.

【答案】因为

，其中

. 所以

.

8． 将3个乒乓球放入4个杯子中, 求杯子中球的最大个数为1, 2, 3的概率.

【答案】设事件

表示“杯中球的最多个数为”, 3个球放入4个杯子中共有

种,

即

中不同方法,

表示“4个杯子中有3个杯子各有一球”, 则不同放法共有

表示“4个杯子中有一个杯子有2个球, 有个杯子有1个球”, 则共有

种不同放法, 即

中放法,

；

则

独立同分布，其共同的

（正号和负号，在给定n=15

，

. 此处15个差值为

，故可算出检验统计量值为

，

，观测值落入拒绝域，拒绝原假设，可以认定以材料A 制成的后

表示“3个球都放入了一个杯子中”, 则共有