当前位置：问答库＞考研试题

一、证明下列各题

1． 设a , b , c 为实数. 求证:方程有四个不同的零点

两个不同的零点;

函数

的根不超过三个.

, 那么函数

必有三个不同的零点; 函数

有

无零点, 这便产生矛盾. 这矛盾说明反

应用罗尔定理可知函数有一个零点. 然而已知函数

【答案】用反证法. 假设方程有四个不同的根

证法假设不成立, 即方程至多只有三个根.

2． 证明:若

（1）

存在且等于A ;

则

存在

内时

从而

即

3． 设S 为光滑闭曲面, V 为S 所围的区域, 函数u （x , y , z ）在V 上与S 上具有二阶连续偏导, 函数w （x , y , z ）偏导连续, 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由高斯公式:

令P=uw, 有

即

（2）由（1）式用

代替u 可得

第 2 页，共 25 页

（2） y 在b 的某邻域内, 存在有【答案】由条件（1）知:对任绐

又由条件（2）知:当y 在b 的某邻域在①式中, 令

得

当

时, 有

①

存在. 令

当

时,

类似地可以得出:

三式相加, 再由第一、二型曲面积分关系可得

4． 设

为开集,

, 存在

. , 当

在, 当

可微, 试证明:

时, 有

（2）存在

时, 有

（这称为在可微点邻域内满足局部利普希茨条件） 【答案】（1）因为, 在其中

即

处可微, 依定义

, 当

时, 有

使

故当

（2）在（1）中取其中

.

, . , 由时有可知, 存在

. 取

, 则当

,

, 于是此时有, 使得当

时,

时有,

时, x 0为f 的极小值点. , 则x 0为f 的极大（小）值点.

及极限的保号性知,

;

,

, 则

5． 证明:若函数f 在点x 0处有

【答案】假设存在由

于是此时有

使得当

, .

时, 有

（1）任给

故x 0为f 的极大值点. 同理可证, 当

6． 设f 为[a, b]上的增函数, 其值域为上的增函数, 所

以

时,

假设这是因为:当当

时,

与

. 证明f 在[a, b]上连续.

. 设.

或者

. . 而

第 3 页，共 25 页

【答案】用反证法. 假如f 在[a, b]上不连续, 则f 有间断点

都存在.

设

同理有

. 于是或者

, 由函数极限的保不等式性得

因为x 0为f （x ）的间断点, 所以

. 则不存在, 使得

时,

. 因为f 为. 因为

当.

. 这与f 的值域为

矛盾. 故f 在

上连续.

二、求解下列各题

7． 判别下列级数的收敛性:

【答案】（1）达朗贝尔判别法, 因为

所以

不存在.

-显然发散.

, 由柯西判别法知此级数收敛. 本题不能应用

⑵当a=1时, 级数当0

级数收敛.

当a>1时, 因为

所以根据柯西判别法知级数收敛. 8． 计算

:

其中

为

中z ≥0的部分.

【答案】化简并利用高斯公式得

9． 计算第二型曲面积分

【答案】显然

第 4 页，共 25 页