2018年华东师范大学理工学院数学系626数学分析之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明下列各题
1． 设f 是定义在R 上的函数, 且对任何证明对任何
【答案】由即则
, 这与题设
, 于是或者
, 都有
.
得
或者
. 若. 对任意
有
2． 证明:若
【答案】由于对从而有于是
收敛, 且存在极限
存在,
若
,
因
, 存在M , 使得当x>M时, 有
.
故
也发散. 这与已知条件矛盾, 故有
, 且
则函数列【答案】因为
即函数列取朗日定理得
由
在
上连续, 从而一致连续,
则
, 当满足
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, 都有
,
若,
矛盾. 所以
则A=0. , 设A>0,
,
发散, .
3． 证明:若函数f （x ）在（a , b ）内有连续导数
在（a , b ）内闭一致收敛于函数
.
的极限函数为, 对
.
, 当
时有
. 于是当
时, 由拉格
, 存在正整数
,
对
即时有
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于是
0有
4． 设二元函数
证明:对任意
【答案】应用微分中值定理, 有
其中介于x 1与x
2之间,
介于
5． 设f 在区间
上有界, 记
证明
【答案】
对任意的即
故
设为任意正数, 则存在于是有
故
使得
t
于是有
与
之间.
, , 即
在区域
成立
.
在
上一致收敛于
上可微, 且对
, 当n>N时
,
.
,
有
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6． 证明公式:
,
这里续函数.
【答案】设S 为球面
, 则有
考虑新坐标系O-uvw , 它与原坐标系O-xyz 共原点, 且O-vw 平面为O-xyz 坐标系的平面, mx+ny+pz=0, Ou 轴过原点且垂直于该平面, 于是有
在新坐标系O-uvw 中
,
.
, .
.
,
, f （t ）在
时为连
这里的S 仍记为中心在原点的单位球面, 将S 表示为:
则dS=dudw, 从而
二、求解下列各题
7． 求下列极限:
（1）（2）（3）（4）（5）【答案】 （1）（2）
（3）
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