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一、分析计算题

1． （X ），g （x ）不全为0，求解:

【答案】方法1令

且

于是

且

再由③有

从而存在

使

-两边乘

则

2． 设

有

进而，

由⑥知

由④，⑦得证①. 方法2

则①式改为

是4维线性空间V 的一组基，已知线性变换T 在这组基下的矩阵为

（1）求T 在

（2）求T 的核与值域； （3）若线性变换【答案】（1）设

有

到

下的矩阵B ;

问是否为可逆变换？为什么？ 的过渡矩阵Z , 由已知条件得

其中

故T 在下的矩阵为

（2）（i ）先求值域TV 因为

若令则由①知

故T 的值域

为值域TV 的一组基. （ii ）再求核

由②知

再作齐次线性方程组Ax=0, 得基础解系为令则

即为核

为一组基.

只有零解，从而B 可逆. 故

为可逆变换.

3． 实矩阵A 和B , 证明：A 和B 实相似的充要条件是复相似.

【答案】必要性显然.

先证充分性，设A 与B 复相似，即存在复可逆阵其中M 和H 都是n 阶实方阵，由①有此即

因为

令

，故不是零多项式，它在复数域上仅有有限个根，从而存在实数a ，

使

则P 实可逆阵，且由③有

4． 设A 为正定矩阵，证明对任一正整数m , 存在唯一的正定矩阵B , 使

【答案】（1）因为A 正定，所以存在正交阵T , 使

其中为A 的列向量，

为

的一个极大线性无关组，且秩

且

（3）是V 的可逆线性变换. 事实上，设

，使

取

（2）唯一性. 如还有设取由于

则

C 正定.

显有且B 为正定矩阵.

由于B 为实对称矩阵，所以B 有n 个线性无关的特征向量

即

结合式（1）知. 所以

又这样有

因此

即

，从而有正定（当然可逆）

故有

5． 证明：①对称方阵只能与对称方阵合同；

②单位方阵E 与-E 在复数域上合同，但在实数域上不合同； ③对角线上元素为

的实对角方阵A 与E 合同的充要条件是，每个

于是

【答案】①设A 为对称方阵且与方阵B 合同，即存在满秩方阵C 使即B 也是对称方阵.

②令C=iE，则C 是复满秩方阵且显然但不可能存在实满秩方阵P 使-1，但

的相应元素却为

，矛盾. 故E 与-E 在实数域上不合同. 为P 的第一列元素）

③设在实数域上A 与E 合同，即存在实满秩方阵

从而必有，.. 反之，设每个

则令C 为对角线上元素为

即A 与E 在实数域上合同.

6． 设

求

即在复数域上E 与-E 合同.

因为一E 的第一行第一列交叉位置上的元素为

使

.

的实对角方阵，显然有

又