2017年曲阜师范大学工学院764高等代数B(只含线性代数)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、分析计算题
1．
设
【答案】由韦达定理得
而由牛顿公式得
即
而
所以有
2． （1）证明：在是互不相同的数；
（2）在（1）中，取的过渡矩阵.
【答案】（1）用上述特性，将由
时
的特性是代入，得到
即有
但
故
这就证明
了
是它的基.
是多项
式的根
，试
求
中，多项式
是一组基，其中
是全体n 次单位根，求由基
设
到基
当i 从1到n 取值后就有
是线性无关的.
又
是n 维的，
故
（2）
故过渡矩阵为
3． 设A 是幂零阵，且秩
则当时，
【答案】A 的特征值为0, A的若当标准形J 的若当是幂零若当块，因而存在可逆阵P ，使
这里
因为
所以
因此有
故
即
4． 求正交变换，即求正交矩阵T ，使变换
化实二次型
为标准型（即平方和）.
【答案】（1）写出此二次型的矩阵
（2）求出A 的特征值 计算可得
所以
（3）求出相应的线性无关特征向量
当
时，由
即解齐次线性方程组
得基础解系（即线性无关的特征向量）当
时，由
即解方程组
得基础解系（即线性无关的特征向量）当
时，由
即解方程组
得基础解系（即线性无关的特征向量）（4）正交单位化 由于
已经正交，只单位化即可，令