2017年曲阜师范大学管理学院850高等代数A考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、分析计算题
1． 证明：
【答案】因为所以
是
设则
因此根据上题，首项系数为1. 因此
2． 设
是
的首项系数为1. 所以
且
的一个公因式. 又因
的
的一个公因式.
的首项系数为1.
和b 满足何种关系时AX=0只有零解、有非零解？并求其一基础解系.
因此
时
AX=0只有零解.
同解. 此时（n>l）有无穷多解. 由于
不妨
问：【答案】易知当b ≠0且
当b=0时，AX=0与设
于是有基础解系为
当
即
，得
）
时，对A 施行初等行变换（第一行乘-1加至其余各
行，再第2, …，n 行都乘
由此得同解方程组
：一基础解系.
3． （1）设
试求
且r （A ）=n-l，而为AX=0的
（2）设由下面矩阵级数来定义：
如果
试证：
【答案】（1）设为A 的特征多项式，则
将代入①得
解得
所以
（2）设
由上面②求得
类似可得
4． 设
所以
为两个不全为零的多项式，n 为正整数. 证明：
【答案】①若则显然 _反之，
设
从而
这与
②证法I 设则
于是由①知
且令
因此
证法II 设f , g的次数都大于零，且
下
证若不然，则必有不可约多项
式
矛盾.
从而由（2）得
其中令
5． 设
为首系数是1的不可约多项式，与为非负整数. 于是得
，则于是由（3）（4）得且
为数域K 上全体n+1阶对称方阵作成的K 上的线性空间，
元素是1其余元素全为零的n+1阶方阵，令
都是n+1阶对称方阵，共有
个且显然为
的一基. 因此，
的维
是K 上三元n 次齐次多项
式作成的K 上的线性空间. 证明：
【答案】令则所有数是
又易知所有非同类项的
项数，亦即从三个元素
这也就是
6． 设为何值时；
（1）（2）（3）
不能由的维数. 由于
作成的一基，其个数就是’展开后
中每次取n 个的重复组合数，即
的维数相同，故同构.
试讨论a , b
划生表示；
可唯一由线性表示，并写出表达式；
可由线性表示，但表达式不唯一，并写出表达式.
则
【答案】设
对该方程组増广阵A 施以初等行变换，有
（1）当a=0时，
如此时方程组无解；
如果b=0，方程组仍无解. 所以a=0, b为任意常数时，
不能由