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一、分析计算题

1． 设A 是mxn 实矩阵，用U 表示A 的列空间，用W 表示

【答案】设

由

知因而

2． （1）把矩阵

（2）设【答案】⑴

令

则

故

现作如下乘积

.

故

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的列空间，证明：记

，则

则

可以由

，线性表示，，故又

表成形式为为一复数矩阵，

与的矩阵的乘积；

的矩阵的乘积.

证明：A 可以表成形式为

已表成所要求的形式.

（2）提示先用所给定的初等变换把A 化成（1）中所述的形状：

先设

则

，又由（1）若

则

则

就化成前一种情形，这时A 也能表成给定类型矩阵的乘积.

3． 设V , W是数域F 上有限维向量空间.f :和象，即

证明：【答案】设

那么

下证则从而此即由于此即有从而有

4． 设P 是数域

，

证明：存在可逆阵P ，Q ，

使

线性无关，因此有

即证

线性无关. 移项后有且AC=CB，秩C=r.

有相同的，阶顺序丰子式.

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能表成给定类型矩阵的乘积，故A 也能.

是一个线性映射，令Kerf 和Imf 分别表示的核

并取它的一组基

再扩大为V 的一组基.

其中

线性无关，令

【答案】因为秩C=r，所以可逆阵P 、Q ，使

又因为AC=CB，所以有

所以

令

这里

均为r 阶方阵，

都是n —r 阶方阵，将它们代人式（1）得

即

式（3）代入式（2）得，

证完.

5． 求矩阵

的本征值

本征矢量

这些矢量

是否为正交的？

【答案】本征值就是特征值，本征矢量就是特征向量

.

所以B 的3个特征值为当当当

时，由时. 由

得基础解系（即属于特征2的特征向量）为

得属于特征值1的特征向量为

得属于特征值4的特征向量为

是互相正交的（实际上

不同特征值之问一定是互相正

由①，②，③看出交的）

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