2017年青海民族大学数学院731高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）. A. 必相等 B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在 若选故选B. 3． 设 A. 若B. 若C. 若 从而否定A , 若选 从而否定C , 中选三个向量组 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则 矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. D. 若【答案】A 线性无关，则线性无关. 则 线性无关， 【解析】因为当否则有 线性无关时，若秩 线性相关. 由此可否定C ，D. 又由 由上述知 线性相关，所以 于是 因此线性相关，故选A. 4． 齐次线性方程组 的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵 【答案】C 【解析】若当C. 5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ， 时， 由AB=0, 用 右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D. 由AB=0，左乘 可得 矛盾，从而否定A ，故选 使AB=0, 则（ ） . 记 A. B. C. D. 【答案】B 则（ ）. 【解析】由已知，有 于是 二、分析计算题 6． 设V 是有限维向量空间，变换）. 证明： 是同构映射，dimV 是偶数. 【答案】由是 故综上所述 类似可得 有 则 （2）显然cp 保持线性运算. 若故 是单射. 由 则存在是同构映射. 由（1）得 也是正定阵，且 （偶数）. 则 使 于是 则是满射，于是是双射，故由V 是有限维向量空间， 7． 若 是正定阵，诹 这 里 注 意 到 故 于是 则 则存在 于 是V 上的两个线性变换，且有 （1是恒等 【答案】A 是正定矩阵的顺序主子阵，因而正定，从而I1正定. 又即所以 合同汙 正定. （2） 由 正定，所以 半正定. 从@ 正定. 对式（1）两边取行列式得
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