2018年浙江财经大学数学与统计学院891统计学之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设二维随机变量
的联合密度函数为
求X 与Y 的相关系数.
【答案】先计算X 与Y 的期望、方差与协方差
.
最后可得X 与Y 的相关系数
2． 设
，试证:
【答案】因为
9
所以
3． 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了. 若从中随机抽取8桶，记X 为8桶中被污染的桶数，试求X 的分布列，并求E （X ）.
【答案】因为X 的可能取值为0, 1，2, …，5, 且
将计算结果列表为
表
1
由此得
4． 设二维连续随机变量
的联合密度函数为
试求
当
时，
由此得
5． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了解其平均寿命，从中抽出n 件产品测其实际使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布.
【答案】总体是该厂生产的电容器的寿命全体，或者可以说总体是指数分布，
其分布为
样本是该厂中抽出的n 个电容器的寿命； 记第i 个电容器的寿命为Xi , 则样本
的分布为
其中
6． 设正态总体的方差为已知值，均值，只能取或的样本均值. 考虑如下柃验问题
若检验拒绝域取为
则检验犯第二类错误的概率为（1）试验证:（3）当
，从而在，并且要求
【答案】先求条件密度函数所以
两值之一，为总体的容量n
，
给定时，有
时，样本容量n 至少应为多少？
（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？
【答案】 （1）由于，故检验犯第二类错误的概率为
这给出，也即，从而在
给定时，有
（2）若n 固定，当减小时，就变大，由为常量可知就变小，
从而导致增大. 同理可知:当减小时增大.
这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案.
（3）由
查表可得
，于是
将
代入，有
即n 至少应为468.
7． 两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布，从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径如下表
表
比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取Y 为乙车床生产的滚珠直径，原假设为
此处m=8, n=9, 由样本数据计算得到于是查表有从而拒绝域为
，
由于检验统计量的值不在拒绝域内，因此认为两台车床生产的滚珠直径的方差没有明显差异.
）. ， ，
【答案】这是一个关于两正态总体方差的一致性检验问题，设X 为甲车床生产的滚珠直径，
，备择假设为
，
,
若取显著性水平