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一、计算题

1． 掷一颗骰子两次，求其点数之和与点数之差的协方差.

【答案】记X 为第一次掷出的点数，Y 为第二次掷出的点数，则X 与Y 独立同分布，

即有

由此得

2． 在单因子方差分析中，因子A 有三个水平，每个水平各做4次重复试验. 请完成下列方差分析表，并在显著性水平

下对因子A 是否显著作出检验.

表1方差分析表

【答案】补充的方差分析表如下所示:

表2方差分析表

对于给定的显著性水平由于

，查表知，故拒绝域为，

因而认为因子A 是显著的. 此处检验的p 值为

的工人发放高产奖. 已知过去每人每月生产额

其中

，为分布

及

可

3．

某厂决定按过去生产状况对月生产额最高的X （单位:kg ）服从正态分布的得

，试问高产奖发放标准应把生产额定为多少？

【答案】根据题意知，求满足p （x>k）=0.05的k ，即

分位数. 又记为标准正态分布N （0, 1）的p 分位数，则由

因此可将高产奖发放标准定在生产额为4099kg.

4． 一个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率.

【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有

设所求事件为2n 次，

此种样本点共有

当k 从0到n 累加起来就得事件

所含样本点总数

个， ，它为

由此得所求概率为

可算得:

5． 设随机向量X 与Y 都只能取两个值，试证:X 与Y 的独立性与不相关性是等价的.

【答案】因为独立必定不相关，所以只需证:若X 与Y 不相关，则X 与Y 独立. 不失一般性，可设X 与Y 只取0与1两个值，否则可设X 的可能取值为为c ，d. 又记

所以

与

的可能取值均为0, 1.

与

不相关. 所以只需证

表

与

是独立的. 记

的联合分布列

由X 与Y 不相关可得

的可能取值

个样本点. ，事件

发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，

否则不可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n -k 次，这样共游动

与各自的边际分布列如下表所示.

由此可

得

得:

将此代入联合分布列与边际分布列的关系式

由

与的不相关性可

即可得

即

与

独立，从而证得X 与Y 独立.

服从单位圆内的均匀分布，其联合密度函数为

试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关. 【答案】先求边际密度函数

和

所以由又因为

和

知X 与Y 不独立.

在对称区间上是偶函数，故

从而

所以X 与Y 不相关.

7． 设

的渐近分布为

8． 如果

试证:

【答案】对任意的故当即对任意的

时，有

有

于是有

从而

6． 设二维随机变量

是从二点分布抽取的样本，试求样本均值的渐近分布.

样本容量为20,

因而样本均值

【答案】二点分布的均值和方差分别为p 和

且

有

成立，结论得证.