2018年长江大学作物学314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求:
（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；
（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.
【答案】先求样本点总数，我们用N+1根火柴棒排成一行，火柴棒之间的N 个司隔恰好形成N 个盒子，并依次称它们为第1个盒子，第2个盒子，…，第N 个盒子，n 个球用“0”表示，考虑到两端必须是火柴棒方能形成N 个盒子，所以n 个（不可辨）球放入N 个（可辨）盒子中，就相当于把N-1根火柴棒（N+1根火柴棒中去掉两端的两根）和n 个“0”随机地排成一行，譬如N=4, n=3时，“10010111”表示第1个盒子中有2个球、第2个盒子中有1个球、第3、4个盒子中无球，这样一来，n 个球放入N 个盒子所有的样本点总数相当于:从N-l+n个位置任选n 个位置放“0”、其他位置放火柴棒，故样本点总数为
（1）记A 为事件“指定的某个盒子中恰有k 个球”，不失一般性，可认为第1个盒子中有k 个球，则余下n-k 个球放入另外N-1个盒子中，类似于样本点总数的计算，
此种样本点共有
，考虑到球不可辨故
（2）记
为事件“恰有m 个空盒”，它的发生可分两步描述:
种取法.
第一步，从N 个盒子任取m 个盒子，共有
第二步，将n 个球放入余下的N-m 个盒中，且这N-m 个盒子中都要有球，这当然要求n ≥N-m （或m ≥N-n ），否则第二步发生的概率为零，为了使第二步能发生，我们设想先把n 个球排成一行，随机抽取球与球之间的n-l 个间隔中的N-m-l 个间隔放火柴棒即可，这有
综合上述两步，所求概率为
（3）若事件C 表示“指定的m 个盒子中恰有j 个球”，这意味着另外N-m 个盒子中放n-j 个球，由类似于样本点总数的计算知:j 个球放入m 个盒子中共有球放入余下的N-m 个盒子中有
种放法，于是所求概率为
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种可能.
种放法，而另外n-j 个
2． 设二维随机变量（U ）的联合密度函数为
【答案】P （x , y ）的非零区域与
，试求
的交集为图阴影部分，所以
图
3． 把一颗骰子独立地掷n 次，求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数.
【答案】记
则1点出现的次数从而有
欲求
故先求
由于
且因为
和
均为仅取0, 1值的随机变量，所以
时，有
由此得综上可得
X 与Y 负相关是可以理解的，因为在掷n 次骰子中，1点出现次数多必使6点出现次数少.
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6点出现的次数
（第次投掷时，不可能既出现1点、同时又出现6点），因此当
而当
时，由于
与
相互独立，所以
4． 已知在文学家萧伯纳的数X 近似地服从对数正态分布，叫中的单词数分别为
一书中，一个句子的单词
. 今从该书中随机地取20个句子，这些句子
求该书中一个句子单词数均值. 【答案】正态分布
的最大似然估计.
的参数的最大似然估计分别为样本均值和方差. 即
由于最大似然估计具有不变性，因而 5． 设
独立同分布，且都服从
的最大似然估计为
分布，试求
的分布.
【答案】因为的特征函数为
所以由诸的相互独立性得的特征函数为这正是正态分布
6． 对下列数据构造茎叶图
的特征函数，所以由唯一性定理知
【答案】取百位数与十位数组成茎，个位数为叶，这组数据的茎叶图如下:
图
7． 设随机变量X 与Y 的概率分布分别为
表1
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