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一、计算题

1． 设

【答案】由条件

2． 随机变量X 与Y 的概率分布分别为

表

1

表

2

且（2）求

的概率分布； .

得

所以

故

的概率分布为

表

3

的概率分布；

，若

，得

，试证:A 与B 独立.

. 再由上题即得结论.

（1）求二维随机变量（3）求X 与Y 的相关系数【答案】 （1）由

（2）的可能取值为一1, 0, 1. 由的概率分布可得Z 的概率分布为 表

4

（3）由X , Y 及Z 的概率分布得

.

故有

3． 设总体为均匀分

布值:11.7, 12.1, 12.0.求的后验分布.

【答案】当的联合分布为

>

其中

或

此处观测值为

它位于区间（10, 16）内，故后验密度函数为

即的后验分布为

4． 设回归模型为

试求

的最大似然估计，它们与其最小二乘估计一致吗？

.

即

时，

的先验分布是均匀分

布

. 现有三个观测

【答案】似然函数为

其对数似然函数为

导并令导函数为0, 得到如下似然方程组

，（忽略常数项）将其分别对

求

经过整理可以解出

可以看到

的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的.

5． 甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球. 每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋. 求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率.

【答案】设事件为“第i 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记有

，且

所以由全概率公式得

得递推公式

将

代入上式可得

由此得

6． 写出下列随机试验的样本空间:

（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；

（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；

（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，不放回后再取出一个.

（1

）【答案】共含有

（2）（3）

个样本点，其中0表示反面，1表示正面，（3）中的0与1也是此意.

，共含有

个样本点.

，共含有可列个样本点.

. 则

（4）=丨黑黑，黑白，黑红，白黑，白白，白红，红黑，红白，红红丨. （5）=丨黑白，黑红，白黑，白红，红黑，红白丨.

7． 一商店经销某种商品，每周进货量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间周的平均利润.

【答案】记Z 为此商店经销该种商品每周所得的利润，由题设知

上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了

进货量，则可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元. 试求此商店经销该种商品每

其中