2017年湖南师范大学世界地理之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设四元齐次方程组
求（1）方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系；（2）Ⅰ与Ⅱ的公共解. 【答案】（1）求方程组Ⅰ的基础解系：系数矩阵为
其基础解系可取为
求方程组Ⅱ的基础解系：系数矩阵为
故可取其基础解系为
（2）设即
为Ⅰ与Ⅱ的公共解，下面用两种方法求x 的一般表达式.
是方程组Ⅲ的解，这里方程组Ⅲ为Ⅰ与Ⅱ合起来的方程组
方法一、x
是Ⅰ与Ⅱ的公共解
其系数矩阵
取其基础解系为，
于是Ⅰ与Ⅱ的公共解为
方法二、以Ⅰ的通解代入Ⅱ得
这表明Ⅰ的解中所有形如的公共解为
的解也是Ⅱ的解，从而是Ⅰ和Ⅱ的公共解. 于是Ⅰ和Ⅱ
2． 在秩是r 的矩阵中，有没有等于0的r-1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式？
【答案】在秩是r 的矩阵中等于0的r-1阶子式可能有，也可能没有；等于0的r 阶子式可能有，也可能没有. 例如：
①矩阵②矩阵③矩阵④矩阵 3． 设
求
，的秩为2, 有等于0的1阶子式（简称1阶零子式，下同）但没有2阶零子式；的秩为2, 没有1阶零子式，也没有2阶零子式；
的秩为2, 有1阶零子式，也有2阶零子式； 的秩为2, 没有1阶零子式，但有2阶零子式.
【答案】利用矩阵A 的相似对角阵来求（1）求A 的特征值：
所以A 的特征值为（2）对应
解方程
并且它们互不相同，知A 可对角化. 由
得特征向量
对应解方程由
得特征向量
对应由⑶令
解方程
得特征向量
则P 为可逆阵，且于是求出
得
4． 设
【答案】
求一个可逆阵P ，使PA 为行最简形.
故并且A 的行最简形为