2017年湖北师范大学工程数学考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设A , B 都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似.
【答案】因A 可逆，故
2． 说明：xOy
平面上变换
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）⑶（4）
故T 把向量故T 把向量
，故T 把向量向Y 轴投影；
关于直线Y=Z反射；
关于y 轴反射为
的几何意义，其中
由定义，AB 与BA 相似.
故T 把向量
先关于直线y=x反射，再关于z 轴反射；或者把向量绕原点顺时针方向旋转90.
3． 设A , B 都是正交阵，证明AB 也是正交阵.
【答案】方法一、由定义，知AB 为正交阵.
方法二、因A , B 为正交阵，故A ，B 均可逆，且
，从而AB 是正交阵.
4． 计算下列乘积：
（1）
于是AB 可逆，且有
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
5． 设向量组B
:
线性表示为
无关的充要条件是矩阵K 的秩R （K ）=r.
能由向量组A
:
，其中K
为
矩阵，且A 组线性无关. 证明B 组线性
【答案】方法一、记
于是
，则有B=AK.（2）
但K 含r 列，
有
即R （K ）=r，k 为列满秩矩阵.
必要性：设向量组B 线性无关，知R （B ）=r.又由B=AK，知充分性：设R （K ）=r.要证B 组线性无关. 由于
因此，向量组B 线性无关.
方法二、由（2）式，因R （A ）=S，A 为列满秩矩阵，则知R （_B）=R（K ）。于是B 组线
性无关
6．
设
线性无关. 【答案】先把向量组
由向量组
线性表示的关系式写成矩阵形式：
因detK=l，故K 是可逆阵，由矩阵秩的性质，知又
因
线性无关.
7． 判定下列向量组是线性相关还是线性无关：
（1）
线性无关，
知
，从而
有
则向量
组
，
，
且向量组
线性无关，
证明向量组
（2）
【答案】记（1）、（2）中向量所构成的矩阵为A. （1）
（2）
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