2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷
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2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷（一） . 2 2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷（二） . 8 2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷（三） 17 2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷（四） 23 2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷（五） 30
一、计算题
1． 已知
的两个基为到基
的过渡矩阵P.
，
，因
与
均为
的基，故A 和B 均
及
，
，
. 求由基
【答案】记矩阵
为3阶可逆阵. 由过渡矩阵定义，
可求得P 如下：
从而
2． 已知线性变换
求从变量【答案】记系数矩阵. 因性变换的矩阵形式为
又，
到变量
，
的线性变换.
，则线性变换的矩阵形式为x=Ay，其中A 为它的
故A 是可逆阵，于是从变量
到变量
的线
于是即
3． （1）设
（2）设
求
求
【答案】因A 是对称阵，故正交相似于对角阵 ⑴由
求得A 的特征值为对应
解方程（A-E ）x=0，由
得单位特征向量
对应
解方程（A-5E ）x=0，由
得单位特征向量令
则P 是正交阵，且有
（2）这是求矩阵A 的多项式的问题.A 的特征多项式
于是A 的特征值
因为A 是对称阵，则存在正交阵也即
使
并且Q 的列向量是对应特征值的单位特征向量，i=l，2, 3. 从而有
其中
这样，只需计算出
即对应
解方程（A+E）x=0，由
得单位特征向量
代入（1）式，即求得
4． 设
的单位特征向量，代入上式即得
为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对f 的矩阵A 进行讨论
A 正定
由
5． 证明二次型
【答案】设又
另一方面，
取
且由
合起来，当
时，A 正定，从而f 正定.
在时的最大值为矩阵A 的最大特征值.
为A 的n 个特征值，则有正交变换x=Qy，使
即
为第1个分量是1的单位坐标向量，再令
则
并且二次型f 在处的值为
综合以上知
6． 设
【答案】
是一组n 维向量，已知n 维单位坐标向量线性无关.
可由
线性表示
能由它们线性表示，
证明
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