2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
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2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数复试仿真模拟三套题（一） . 2 2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数复试仿真模拟三套题（二） . 7 2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数复试仿真模拟三套题（三） 15
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一、计算题
1． 在秩是r 的矩阵中，有没有等于0的r-1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式？
【答案】在秩是r 的矩阵中等于0的r-1阶子式可能有，也可能没有；等于0的r 阶子式可能有，也可能没有. 例如：
①矩阵②矩阵③矩阵④矩阵
，的秩为2, 有等于0的1阶子式（简称1阶零子式，下同）但没有2阶零子式；的秩为2, 没有1阶零子式，也没有2阶零子式；
的秩为2, 有1阶零子式，也有2阶零子式； 的秩为2, 没有1阶零子式，但有2阶零子式.
，
2． 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为
【答案】设所求齐次线性方程为Ax=0
记
. 那么
是方程AX=0的基础解系
AB=0, 且R （A ）
=2
, RR （At ）
=2
的两个列向量是由
的一个基础解系（因R （B ）=2）。
得基础解系为故A 可取为
对应齐次线性方程组为
3． 举反例说明下列命题是错误的：
（1）若
（2）若
则
则
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则A=（9或A=五；
（3）若AX=AY, 且
【答案】⑴取
⑵取
有
有但
，但且
（3）取有AX=AF，
且
4． 写出一个以
但
为通解的齐次线性方程组. 【答案】把原式改写为
由此知所求方程组有2个自由未知数
且对应的方程组为
即
它以原式为通解. 5． 设
，
，c 与a 正交，且
求
因
正交，有
有
故
【答案】以左乘题设关系式，得
得 6． 设
，
，c 与a 正交，且
求
而
因
正交，有
有
故
【答案】以左乘题设关系式，得
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得而
7． 设向量组B
:
线性表示为
能由向量组A
:
，其中K
为
矩阵，且A 组线性无关. 证明B 组线性，则有B=AK.（2）
但K 含r 列，
有
无关的充要条件是矩阵K 的秩R （K ）=r.
【答案】方法一、记
于是
必要性：设向量组B 线性无关，知R （B ）=r.又由B=AK，知
即R （K ）=r，k 为列满秩矩阵.
充分性：设R （K ）=r.要证B 组线性无关. 由于
因此，向量组B 线性无关.
方法二、由（2）式，因R （A ）=S，A 为列满秩矩阵，则知R （_B）=R（K ）。于是B 组线
性无关
8． 写出四阶行列式中含有因子位于第2列和第4列，即
此行列式中含有
的项为
和
或
的项. 和
注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2, 故
【答案】由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别
二、解答题
9． 已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
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有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
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