2017年山东大学计算方法、线性规划、数学模型(各约占1,3)之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 已知向量组A
:
B
；
证明B 组能由A
组线性表示，但A 组不能由B 组线性表示.
【答案】B 组能由A 组线性表示A 组不能B 组线性表示体计算如下：
于是R （B ）=2，R （B ，A ）=3, 并且上式右端矩阵的后三列所构成矩阵与矩阵A 行等价，继续对它作初等行变换，得
所以R （A ）=3.合起来有
2． 证明二次型
【答案】设又
另一方面，
取
并且二次型f 在处的值为
综合以上知
在
时的最大值为矩阵A 的最大特征值.
为A 的n 个特征值，则有正交变换x=Qy，使
即
为第1个分量是1的单位坐标向量，再令
则
具
于是，B 组能由A 组线性表示，且A 组不能由B 组线性表示
3． 试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆阵：
（1）
（2）
【答案】记所给的矩阵为A. （1）
因知A 可逆，且
（2）
因
4． 设
知A 可逆，并且
线性相关，也线性相关，问
不一定线性相关.
向量组Ⅱ:线性无关.
是否一定线性相关? 试举例说明之.
【答案】向量组例如令向量组∣:向量组
5． 设
，则这两向量组均线性相关，但
证明向量组【答案】列向量组其中系数矩阵K 为
其行列式由（3）式即得），从而
与
，此表明
等价.
对应的特征向量依次为
求A.
与向量组
和
等价.
依次构成矩阵A 和B ，于是有B=AK，（3）
，故K 可逆.
能由
线性表示（其表示的系数矩阵为
6． 设3阶矩阵A 的特征值为