当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1． 计算以下

阶行列式

【答案】解法I 各列都加到第一列，再按第一列展开，得

解法II 将第一列加到第二列，再将第二列加到第三列，得主对角线上元素为

的一个下三角形行列式. 因此

2． 设

求

又

【答案】根据综合除法，得

故

试证：AB 也是正定矩阵.

是n 阶实对称阵.

最后将第n 列加到第n+1列，即

3． 已知A ，B 均为n 阶实对称正定阵，且有

【答案】

可以解:存在同一个实可逆阵，使

事实上，存在正交阵P , 使

其中E , 为k 级单位阵，

互不相同. 由AB=BA, 可得

第 2 页，共 31 页

于是

其中与是同级方阵由

可得

从而存在正交阵

使

都是对角阵，再令

那么Q 是正交阵，且令

则

为对角阵

.

也为对角阵，从而得证①式成立. 由于A ，B 正定，所以

但

∵

4． 设

【答案】

应用辗转相除法可得

所以f （x ）有重因式. 又

第 3 页，共 31 页

AB 是正定阵.

判断f U）是否有重因式，并求f （x ）的标准分解式.

所以f （x ）的不可约因式只有4重因

式.

因此，f （x ）的标准分解式是

5． 在线性空间中，证明：

（1）k0=0； （2）【（2）

6． 证明：不存在方阵A ，B 使AB —BA=E.

【答案】设从而 7． 设

【答案】令

由换元公式得

这里r 是

中所有元素的代数余子式之和. 由

解得

，求行列式

的值.

但是

为两个n 阶方阵. 则易知

因此

答

案

】

（

1

0.

）

考虑到

可知

的

第 4 页，共 31 页