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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，

记

A. B. C. D. 【答案】B

则（ ）.

【解析】由已知，有

于是

2． 设

则3条直线

（其中

）交于一点的充要条件是（ ）

.

【答案】D 【解析】令其中

则方程组①可改写为

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

方程组①有惟一解

由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，从而

可由线性表出. 线性相关，故选D.

3． 设行列式

为f （X ），则方程，f （x ）=0

的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

4． 设A 是

矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. A. 如果则. 有非零解

B. 如果秩

则

有非零解

C. 如果A 有阶子式不为零，则有惟一解 D. 如果A 有n 阶子式不为零，则只有零解

【答案】D 【解析】秩

未知量个数，

有零解.

5． 设

为空间的两组基，且

又

则（ ）•

【答案】（C ）

【解析】令由②有

将①代入④得

即

二、分析计算题

6． 设A ，B 分别为

证明：【答案】由的，则

和

行满秩实矩阵，m+s=n，而

是半正定矩阵.

是

矩阵，故正定. 因为

所以D 半正定. 由阵.

方法5矩阵分解法等如果矩阵A 有分解式：半正定.

一般地，如果矩阵A 能分解成若干个简单矩阵的和、积等，则可能将问题化难为易，矩阵分解也是一种解决问题的方法.

7． 证明：三次方程

【答案】设此方程的三个根为

则C 列满秩时，A 正定；C 行满秩时，A

正定，D 半正定，故

半正定，即

是半正定矩

是半正定矩阵. 由B 是行满秩

是列满秩的，故

的三个根成等差数列的充分必要条件为

，则三根成等差数列的充分必要条件为

也即为

将左式表成初等对称多项式其中

因此这个方程的三个根成等差数列的充要条件为

8． 设A 为实数域R 上的一个n 阶方阵，满足

（1）设

为A 的一个特征值，证明：也是

的特征值.

两边取转置行列式，得

即也

的多项式：

（2）证明：如果A 的所有特征值都是实数，则A 是一个对称矩阵. 【答案】（1）由是A 的特征值，则是

的特征值.

（2）对矩阵的阶数用归纳法n=l时，结论是显然的. 设结论对n-1时成立.