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一、分析计算题

1． 设T 为欧氏空间V 的一个变换. 证明：若

则T 必是V 的线性变换，从而是V 的反对称变换. 【答案】由（1）得于是得

从而

于是由上可得

故

又

故 2 设．

则子空间

【答案】证法I 令

下证是到

则

的一个同构映射：首先，若

于是由

得

又得

故

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是线性变换，从而为反对称变换.

与

是欧氏空间V 的两组向量. 证明若：

即为

到

的单射.

到的双射.

即为

到

真的同构映射. 故

可得

于是

从而

与

有完全相同的线性关系.

故它们有相同的秩，因此，

3． 设是线性空间V 的两个子空间，证明：

【答案】设则因此，反之，若

则

若

则

4． 设n 维欧氏空间的两个线性变换

都有【答案】由题设

任给

令

则

隹

则存在

不可能：否则，必有

下的矩阵分别是A 和B ，证明

： 现任取

矛盾.

则

证法由

则显然可得

反之，由（9）可得（8）, 即为其次，若

在V

的基

则存在正定矩阵P ，使

同理

令基的度量矩阵为P ，则

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同理掘故

考虑

5． 设n 阶行列式

的任意性，并结合

与

均为对称矩阵知

求D 展开式的正项总数.

【答案】由于D 中元素都是±1，因此D 的展开式n! 项中，每一项不是1就是-1, 设展开式中正项总数为P , 负项总数为q ，那么有

由

得

下面计算D ，用第n 行分别加到其它各行得

将④代入③得

6． 判断下列矩阵是否满秩、可逆？若可逆，求其逆方阵：

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