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一、分析计算题

1． 设

（1）求

成为对角阵； 为对角阵.

（2）求非奇异矩阵P ，使（3）求非奇异矩阵R 使【答案】⑴

（2）计算可揭关特征向量为

令

有

作二次型并配方得

令

则

且退化线性替换为

其中

故

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所以A 的特征值为

并可求出相应的线性无

2． 设T 为线性空间V 的线性变换且

①T 的特征值是1或0; ②若1，0都是T 的特征值，

为相应特征子空间，则

【答案】①设则因为②任取反之，任取于是又显然故但显然

3． 证明

：

【答案】因为

是半正定矩阵.

即又有

又

因此，故由上即得（7）.

故

则

令

故则由因此，

得

且

为T 的任一特征值且

证明：

其中C 是行满秩的，所以是A 半正定矩阵.

4． 设n 阶方阵A 的特征多项式式，这里a ，b 是常数.

【答案】若若为

注意到

的全部特征值为

则

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求

故其特征多项式为的次数大于零，由，

和的特征多项

则

则多项式

是A 的全部特征值，则 是aE+bA的全部特征值，故其特征多项式

的特征多项式为

5． 设A 是n 阶方阵，且

【答案】解法1因为

所以

又因为解法2因为

所以

由于所以 6． 设中任一个•

【答案】对子空间的个数t 归纳.t=2时，

因为

-

如

_

于是：

则

即为所求；又如

果

，使

结合

是非平凡子空间知，

存在不属于同一4

设

互不相同，则如下t 个向量

中至少有一个不属于任何一个

中，再结合

命题得证.

是V 的非平凡子空间，

所以存在

，

则

为所求，否则，便

是线性空间V 的t 个非平凡子空间，证明：V 中至少有一个向量不属于

是n 阶单位矩阵，

，是A 的转置矩阵）

设对t-1个非平凡子空间结论成立，即V 中有对第t

个子空间

于

是对任意数k ，有（否则，

且对不同的

则命题已证.

而如果

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