2017年海南师范大学数学与统计学院804高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到是的一个特解，所以选C.
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
3． 设线性方程组
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩
.
则
也不是线性变换，
比如给
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
【答案】（C ） 【解析】设
4． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D. 【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
二、分析计算题
6． 设A ，B 为n 阶方阵
，
①二次型②若由于的矩阵为②若
则A 与B 不一定相等. 例如，
但是
的矩阵为何？
则A 与B 是否相等？
虽为n 元二次型，但其矩阵不能肯定是A.
对称，故
问：
【答案】①因为未假设A 对称，故
不过，当因为
与故
7． 计算下列矩阵的秩：
均为对称方阵时二者必相等： 展开后，
与
中的系数
的系数分别为
对应相等，故
但因为
（1）（2）
（3）（4）
（5）
【答案】（1）用初等行变换将矩阵化为阶梯形，这时秩不会改变
.
这阶梯形有4个非零行，秩为4. （2）秩为3. （3）秩为2. （4）秩为3. （5）秩为5.
8． 设A 是mxn 矩阵
，关，且AB=0, 如
【答案】因为又
且A 的行向量线性无关，B 是的解，则
有唯一解.
个向量.
可由B
所以AX=0的基础解系含
矩阵，B 的列向量线性无
又AB=0, 所以B 的列向量均为AX=0的解•
从而B 的列是AX=0的一个基础解系. 考虑是AX=0的解，所以