2017年河北大学数学与信息科学学院834高等代数与解析几何考研仿真模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1．
取何值时以下方程组无解、有解？并求其解
【答案】对增广矩阵施行初等行变换：
由
可知，
当
即
的线性方程组
.
可得原方程组的一般解为
2． 设n 组方阵A
在复数域上全部特征值为
的全部特征值为
【答案】由若当定理，存在可逆阵T 使
再由
设
时
，
即
时原方程组无解.
当
原方程组有无穷多解，且解増广矩阵为B
则
即知
的全部特征值为
注此结果也称为许尔定理.
3． 已知三级方阵8的每一个列向量都是以下三元线性方程组的解
（1）求的值.
（2）A 为方程组的系数矩阵，求由
得
【答案】（1）由r （B ）=2，故方程组有无穷多解，因而
（2）由B 的每一列都是方程组的解，故
于是
4． 已知3阶矩阵A 的第一行是（a , b ，c ），a ，b ，c 不全为零，矩阵且AB=0, 求线性方程组AX=0的通解.
【答案】由于AB=0, 故
当k ≠9时，r （B ）=2, 于是r （A ）=1;
当k=9时，r （B ）=1，于是r （A ）=1或r （A ）=2. 对于
由AB=0可得
又由a ，b , C 不全为零，可知
，（k 为常数）
由于是AX=0的通解为
其中
线性无关，故为任意常数.
为AX=0的一个基础解系，于
对于k=9，分别就r （A ）=2和r （A ）=1进行讨论. 如果r （A ）=2, 则AX=0的基础解系由一个向量组成. 又因为
所以AX=0的通解为
为任意常数.
如果r （A ）=1，则AX=0的基础解系由两个向量构成，又因为A 的第一行为（a , b , c ）, 且a , a , c
不全为
其中
5． 设
0, 所以
AX=0
等价
于
不妨
设
由
于
是AX=0的两个线性无关的解，故AX=0
的通解为
为任意常数.
为n 阶正定矩阵. 证明：
①以下二次型是负定的：
②③
【答案】①令
是A 的n-1阶顺序主子式）且等号成立且等号成立
为对角矩阵. ，则
两边取行列式，得
对二次型f 施行满秩线性代换X=AY，得
但A 是正定的，②由于
等于
从而
正定而
即f 是负定的.
（5）