2017年华东交通大学经济管理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 某批产品含有N 件，其中M 件为不合格品，现从中随机抽取n 件中有X 件不合格品，则X 服从超几何分布，即
假如N 与n 已知，寻求该批产品中不合格品数M 的最大似然估计. 【答案】记未知参数M 的似然函数为L （M ; x ）=P（X=x）. 考察似然比
要使似然比化简此式可得是M 的增函数，即
类似地，要使似然比这表明，当
为整数且
必导致
时，似然函数L （M , x ）是M 的减函数，即
比较（*）式和（**）式可知，当为整数时，M 的最大似然估计为M 的最大似然估计为不为整数时，
综合上述，M 的最大似然估计为
譬如，在N=19, n=5，x=2场合，
M 的最大似然估计为7或8. 下面以实际计算加以佐证，几个
表
1
可见M 取7或8可使似然函数达到最大. 又如，在N=16，n=5，x=2场合，
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必导致
这表明：当
为整数和
时，似然函数L （M , x ）
而当
其中[a]为不超过a 的最大整数.
由于为整数，故
如下表1所示：
，（不为整数）
这时M 的最大似然估计实际计算如下表 表
2
可见M 取6可使似然函数达到最大.
2． 设离散型随机变量X 的分布列为
表
试求E （X ）和E （3X+5）. 【答案】
3． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求（1）边际密度函数【答案】（1）因为当0 所以X 与Y 不独立. ’这是贝塔分布 ；（2）X 与Y 是否独立？ 4． 某工厂每月生产10000台液晶投影机, 但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为80%, 为了以99.7%的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片, 试问该液晶片车间每月至少应该生产多少片液晶片？ 【答案】设每月至少应该生产n 片液晶片, 其中合格品数记为X , 则有使下述概率不等式成立 利用二项分布的正态近似, 可得 查表可得 第 3 页，共 22 页 . 下求m 由此解得 5． 设总体密度函数为 即每月至少应该生产12655片液晶片. 是其样本. （1）求g （θ）=1/θ的最大似然估计； （2）求g （θ）的有效估计. 【答案】（1）似然函数为 对数似然函数为 将对数似然函数求导并令其为0, 得似然方程 解之得 （2）令Y=-InX, 则 ，从而有因此Y 〜Exp （θ）=Ga（1，θ） 于是 为求有效估计，需求出θ的费希尔信息量，注意到，lnp （x ，θ）=Inθ+（θ-1）lnx , 于是 而 于是g （θ）的任一无偏估计的C-R 下界 为是g （θ）的无偏估计，且方差达到了C-R 下界，所以 的有效估计. 6． 设有两工厂生产的同一种产品，要检验假设产品各抽取绝 【答案】这里样本量很大，可采用大样本近似，以A 分别表示两个工厂的废品率，则在下，总废品率为 检验统计量为 此 个及 从 而是g （θ） 它们的废品率相同，在第一、二工厂的 个，分别有废品300个及320个，问在5%水平上应接收还是拒 ，故检验拒绝域为在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0，1）处. 故 由于 第 4 页，共 22 页 故不能拒绝原假设，此处经计算，检验的p 值近似为0.1040.
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