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一、计算题

1． 设

是来自均匀分布

与

的一个样本，寻求α与β的无偏估计. 可分别用来估计

但它们都不是无偏估计，

【答案】容易看出，这是因为均匀分布

的分布函数与密度函数分别为

由此可导出次序统计量与的密度函数分别为

从而可分别求出它们的期望

这表明：

与

不是α与β的无偏估计，但做恰当修正后，可获得α与β的无偏估计. 把（*）

或

再使用加减消去法，即可得

的无偏估计分别为

2． 设随机变量X 与Y 相互独立, 其联合分布列为

表

与（**）两式相加与相减可得

试求联合分布列中的a , b , c.

【答案】先对联合分布列按行、按列求和, 求出边际分布列如下:

表

由X 与Y 的独立性, 从上表的第2行、第2列知6=（6+4/9）（6+1/9）, 从中解得b=2/9, 再从上表的第2行、第1列知知:

由此得c=1/6.

3． 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，

求得

（1）建立y 关于x 的一元线性回归方程（2）写出（3）求

的分布； 的相关系数；

从中解得a=1/18, 最后由联合分布列的正则性

（4）列出对回归方程作显著性检验的方差分析表（5）给出的0.95置信区间；

（6）在x=0.15时求对应的y 的0.95预测区间. 【答案】（1）根据已知数据可以得到回归系数的估计为

于是y 关于x 的一元线性回归方程为

（2）我们知道

利用已给数据可计算出

由此可得到（3）由于

的分布分别为

故

的相关系数为

（4）首先计算三个平方和

于是可建立如下方差分析表：

表

若取显著性水平值为

查表知拒绝域为此处检验统计

量落入拒绝域，因此，在显著性水平0.05下回归方程是显著的. 此处，回归方程显著性检验的p

这是一个很小的概率，说明回归方程显著性很高. （5）由定理知，区间为

其中

当

时，

由此可得到

（6）首先算出x=0.15对应的y 的预测值为

而

所以x=0.15时求对应的y 的0.95预测区间为

4． 设二维随机变量（X , Y ）的联合分布列为

表

1

试求

与

的协方差.

且与相互独立，因此的置信

的置信区间为

【答案】因为