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一、证明题

1． 设随机变量

【答案】因为

所以

2． 设

由此得

中任意两个的相关系数都是p , 试证:

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

（1）（2）（3）

【答案】先求三个统计量的数学期望，

这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为

不难看出

由此可推测。当用样本的凸组合

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则

从而的有效性最差.

估计总体均值时，样本均值是最有效的。

3． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.

【答案】因为 4． 设证:

【答案】注意到

故

证明完成.

5． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.

【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有

所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得

P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.

6． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.

【答案】因为

所以

即X 与Y 不相关.

7． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证，

由上题的结论知

[2]仿题[1]有

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所以由单调性知从而得

又因为

所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.

为一个样本,

是样本方差, 试

则X 与Y 有函数关系. 试证:X

的概率分别

是证明

：

8． 设

独立同分布，其共同的密度函数为

（1）证明：（2）计算

和

的均方误差并进行比较；

的估计中，故

最优.

这说明是则Y 的密

都是θ的无偏估计；

（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为

于是有

这表明

也是θ的无偏估计.

（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于

故有

又

从而

由于（3）对形如

因此在均方误差意义下，的估计有

优于

故

因此当估计中，

最优.

时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，在形如

的

二、计算题

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