2018年武汉科技大学信息科学与工程学院840数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设V 是R 中有界区域, 其体积为1/2, V 关于平面x=l对称, V 的边界是光滑闭曲面外向法矢与正x 轴的夹角, 求
【答案】由高斯公式
令
由于V 关于面x=l对称，则对应的V 关于面
而平移变换不改变立体的体积. 所以
2． 重排级数
【答案】注意到
存在
及, 使得
存在
, 使得
如此下去, 存在
及
使得
这样得到一个重排的级数
因
使它成为发散级数.
. 均是发散的正项级数, 从而存在n 1, 使得
从而
对称，且
3
是,
的
发散, 可得此重排级数必发散.
3． 讨论下列函数列在所给区间上的一致收敛性:
【答案】（1）方法一 易知当
时,
由于即
, 所以当n>e时有
在（0, 1）内单调递减且
于是
故方法二
因为时有
在（0, 1）内一致收敛.
的极限函数f （x ）=0, ,
则
. , 因此对一切0 , 当 , 于是 时恒有 , , . 取 , 则当n>N 故在（0, 1）内一致收敛. 时, （2）易知当而 所以（3）令 由于 所以 从而 故 在 上一致收敛. 时, , 当 时, 对任意正整数N 都有 在[0, 1]上不一致收敛. （4）易知当 当时, I , 当n>N时有, 当n>N时, . 即 都有 因为综上所述, , 所以存在正整数, 存在正整数 故在内一致收敛. 问此函数在 上的傅里叶级数具有什么特 4． 设函数f （x ）满足条件:性. 【答案】因为n=0, 1, 2, …时, 其中所以 从而胡 同理可求 因此, 函数f （x ）在 内的傅里叶级数的特性是 二、证明题 5． 设f 在[a, b]上三阶可导, 证明存在 【答案】令 则F （x ）, G （x ）在又因为 所以 , 使得 上满足柯西中值定理的条件, 于是存在 , 使得
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