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一、计算题

1． 求由曲线

,

所围图形的面积.

【答案】如图所示, 所围图形的面积为

图

2． （1）叙述无界函数的定义;

（2）证明

为

上的无界函数;

上的无界函数.

使得

（3）举出函数f 的例子, 使f 为闭区间则称函数f 为D 上的无界函数.

（2）对任意正数M , 由于是, 取

无界函数.

（3）设

3． 求下列全微分的原函数:

（1）（2）（2）由于

显然,

则

得

并且

【答案】（1）设f 为定义在D 上的函数. 若对于任意正数M , 都存在

故是上的

为上的无界函数

【答案】（1）因d （xyz ） =yzdx+xzdy+xydz, 故原函数为u （x , y , z ） =xyz+C

故原函数为

4． 函数

在上的拉格朗日中值公式为

其中且

是与

及x 有关的量, 对

求当

时的极限值.

【答案】

解得

由洛必达法则

由

二、证明题

5． 证明:若f , g均为区间I 上凸函数. 则

也是I 上凸函数.

【答案】因为f , g 均为区间I 上的凸函数, 所以对任意的

及

, 总有

, , 由于. 因而

于是

由式①〜式④得

即, 故F （x ）是I 上的凸函数

①

②

③

④

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6． 用方法证明:

【答案】则

因此,

存在

当

时, 便有

即

7．

证明:设f 为幂级数在（﹣R , R ）上的和函数

, 若f

为奇函数, 则级数仅出现奇次幂的项

, 若f 为偶函数, 则仅出现偶次幂的项.

【答案】由

当f （x ）为奇函数时,

又

故此时有

当f （x ）为偶函数时,

又

8． 设函数f 在（a , b）上连续, 且

（

1）f 在（a , b ）内有界； （2）若存在【答案】（1）令

因为f 在（a , b ）连续, 所以F （x ）在[a, b]连续. 因此F （x ）在[a, b]上有界, 所以F （x ）在（a , b ）上亦有界, 即f 在（a , b）上有界.

（2）因为F （x ）在[a, b]上连续, 所以F （x ）在[a, b]上能取到最大值.

可得

故此时有

与

为有限值. 证明:

, 则f 在（a , b ）内能取到最大值；

, 使得

（3）f 在（a , b ）上一致连续.