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一、证明题

1． 设级数

收敛，证明

也收敛.

【答案】因为

I

又

及

收敛，故(

收敛，所以由比较原则得

：收敛.

你能说明此不

的情形进行证明.

上式等价于

两边平方，得

即

由于即

当

所以上式等价于

时，这个不等式是成立的. 所以原命题成立.

的两边之

2． 设a ，b ，

【答案】由于当

表示全体正实数的集合) . 证明

故只需对

等式的几何意义吗？

时，原不等式化为

题中不等式的几何意义如图所示，其中AB=a, BD=b, BC=c.其几何意义表示差小于第三边

.

图

3．

设函数

【答案】因为

只要

在

上一致连续，所以

，就有

第 2 页，共 40 页

在上一致连续，

且，

有(n 为正整数). 试证

：

对固定的

区间的长度

故对上述则当

取且为正整数，将区间等分. 记分点

则每个小

由已知条件，对每个当

时，有

时，有

记

由式(1) , 有

本题亦可用反证法予以答: 若结论不对，则存在记由就有

于是，当充分大时，有

从而有

由此可得

这与

的假设矛盾.

在_

则

由，对

，相应地存在

使得

上一致连续可知，对上述

只要

的有界性知，它存在一个收敛子列，不妨设为它本身，满足

因

再由式(2) , 有

为

_

故

使

得

二、解答题

4． 求下列全微分的原函数：

(1) (2) (3)

【答案】(1) 由于

从而积分与路径无关，其原函数

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(2)

由于故其原函数

或(3) 由即

5． （1）举出一个连续函数，它仅在已知点

（2）举出一个函数，它仅在点【答案】（1）由于函数仅在

处不可导，其他点处可导，进而

可导.

仅在原点不可导，其余点可导，从而也连续，从而

或

仅在点仅在已知

不可导；

易见积分与路径无关，故原式为某一函数的全微分，令

从而积分与路径无关，

处不可导，其余点可导，依此进行，

可得函数点

不可导.

（2）由于狄利克雷函数

仅在

在

6． 求极限：

【答案】由极限的运算性质知

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处处不可导，不连续，可知

处可导且导数为〇, 其他点不可导，进而

仅

仅在点

处可导，其他点不可导，依此进行，

可得函数

处可导，其中D （x ）为狄利克雷函数.

其中