2017年西安工程大学理学院613数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1. 证明:若f (x ,y ) 在有界闭区域D 上连续,g (x ,y ) 在D 上可积且不变号,则存在一点使 得
【答案】不妨设
令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值,从而
若若
则由上式•则必大于0, 于是
由介值性定理,存在
使得
即
2. 设f (x ) 在
(1) (2) 设(3) 若条件改为
【答案】(1)
由界. 根据单调有界定理
(2) 设因此
由于f
在
时
所以由
可推出
知,
数列为收敛数列.
上连续,对
两边取极限,得
上连续,满足则有
则
|知,
数列
有
为递减数列.
由
设
证明:
于是任取
即可.
为收敛数列;
(3) 此时(1) ,(2) 的结论仍成立.
因为当
3. 试用一致连续的定义证明:若
时,
有
则当
都在区间上一致连续,则
当时,有
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也在上一致连续. 存在
时,有
使得当
取
【答案】因为f , g
在区间上一致连续,
所以对任给的
故 4.
(1)
求证:
(2)
使得
(2) 设. 所以
故有
结论得证.
则有
...
在上一致连续.
【答案】(1) 利用拉格朗日中值定理,存在
二、解答题
5. 设
求证递推公式:
【答案】因为
所以
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6. 设
【答案】
由
又
7. 求下列函数在所指定区域D 内的平均值:
【答案】(1) 由于D 的面积为(2) 由D 的体积为
令
所以平均值
8. 求内摆线
所围图形的面积(图)。
得
所以
所以的平均值
求
的定义域和解
得
从
而
的定义域
为
图
【答案】所围图形的面积为
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