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2017年西安工程大学理学院613数学分析考研强化模拟题

  摘要

一、证明题

1. 证明:若f (x ,y ) 在有界闭区域D 上连续,g (x ,y ) 在D 上可积且不变号,则存在一点使 得

【答案】不妨设

令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值,从而

若若

则由上式•则必大于0, 于是

由介值性定理,存在

使得

2. 设f (x ) 在

(1) (2) 设(3) 若条件改为

【答案】(1)

由界. 根据单调有界定理

(2) 设因此

由于f

所以由

可推出

知,

数列为收敛数列.

上连续,对

两边取极限,得

上连续,满足则有

|知,

数列

为递减数列.

证明:

于是任取

即可.

为收敛数列;

(3) 此时(1) ,(2) 的结论仍成立.

因为当

3. 试用一致连续的定义证明:若

时,

则当

都在区间上一致连续,则

当时,有

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也在上一致连续. 存在

时,有

使得当

【答案】因为f , g

在区间上一致连续,

所以对任给的

故 4.

(1)

求证:

(2)

使得

(2) 设. 所以

故有

结论得证.

则有

...

在上一致连续.

【答案】(1) 利用拉格朗日中值定理,存在

二、解答题

5. 设

求证递推公式:

【答案】因为

所以

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6. 设

【答案】

7. 求下列函数在所指定区域D 内的平均值:

【答案】(1) 由于D 的面积为(2) 由D 的体积为

所以平均值

8. 求内摆线

所围图形的面积(图)。

所以

所以的平均值

的定义域和解

的定义域

【答案】所围图形的面积为

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