2017年西安工程大学理学院613数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 已知在
证明:函数列【答案】由
上，函数列
一致收敛于一致收敛于在上分别一致收敛于
函数列
可得
在上分别一致收敛于
又故
在
上一致收敛于
2． 设f 为
上的递增函数. 证明
和. ) . 因为f
为
使得即
②
3． 证明：
【答案】将原不等式变形为
这样就将问题转化为求令
解之可得，在D 的内部有惟一驻点(1，1) ，且注意到，
一致收敛于
都存在，且
上的增函数，
所以对
上有上确界，令则
并当
.
有F 时，有
【答案】
①取
•即f (x ) 在
是对任给的
存在
上有上界. 由确界原理知f (x ) 在
，令故
同理可证.
成立.
在区域上的最大值.
所以f (x ，y ) 在D
的内部最大值为
和
下面求f (X ，y ) 在D 的边界上的最大值. 在y=0上，令最大值为
综上，f (x ，y ) 在D 上的最大值为
4．
设当
时，
故
时
于是
由的任意性知
，
即当
时，原命题是成立的.
当
时，
对任给的
存在
当
于是，
证明
如果
其中
为正整数. 那么，对任给的
存在
使得
即
，可得驻点
此时
因此，f (x ，y ) 在y=0上的
同理，f (x , y ) 在x=0上的最大值为
【答案】由保不等式性知
二、解答题
5． 试给出函数f 的例子，使f （x ） >0恒成立，而在某一点处有保号性有矛盾吗？
【答案】令
在实数集R 上
恒成立. 但
这与极限的局部保
号性不矛盾. 因为函数极限的局部保号性定理的题设要求
6． 周期函数的原函数是否还是周期函数？
【答案】设因此，
7． 求曲线
【答案】
令
得
当.
时，
当
时，
所以
在
是
的原函数，
且
也是周期函数。 上曲率最大的点。
这同极限的局部
时取最大值. 故
8． 计算曲面积分
在点处曲率最大。
其中S 是曲面
及两个平面
所
围的立体的表面的外侧。
【答案】设
分别为S 的上、下底面和圆柱侧面，则
记
在xOy 平面上的投影区域为
则
在
上，
故
从而曲面积分
9． 验证下列等式，并与
（3）式为（4）式为【答案】（1）因为分，
等于
（2）因为而
式是对
10．计算二重积分
其中是双纽线【答案】令
则双纽线方程为
围成的区域.
(如图) :
式是对
由（1）可知先积分后微分，则等于
所以
先积分再求导，则等于
它是对
先微分后积分，
则等于
它是对
先求导再积
两式相比照
而在yOz 平面上的投影区域