2016年首都师范大学数学科学学院基础数学数学物理数学教育之高等数学复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 溶液自深18 cm 顶直径12 cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满了溶液. 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速率为1 cm/min，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?
，圆柱形筒中水深为h=h（t ）【答案】如图，设在t 时刻漏斗中的水深为H=H（t ）。
建立h 与H 之间内的关系：
又
即
，即
，故
，
上式两端分别对t 求导，得
当H=12时，
，此时
2． 设
（1）求极限（2）证明（3）求和【答案】（1）当
；
。
时，有
故
由（2）由
知
（3）易知
由
，反复利用此公式，得
即
故
3． 求下列函数的极值:
及夹逼准则知。
【答案】（l ）令由
, 得驻点
知
为极大值, 由
知
为极小值。
内可导,
且
（2）函数的定义域
为
,
令（3）令由知
为极小值。
（4）函数的定义域为
, 在
令（5）令当当（6）令当当当从而可知（7）
, 得驻点, 得驻点
, 由
为极大值, 由
为极小值。
知
内可导, 且
为极大值, 由
得驻点, 由为极大值。
得驻点
时, 时,
, 因此函数在, 因此函数在
上单调增加
上单调减少, 从而
为极大值。
, 得驻点
, 时,
上单调减少；
上单调减少。 为极大值。
, 因此函数在[一2, 0]上单调增加；
, 因此函数在为极小值,
, y’<0, 因此函数在
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