2016年曲阜师范大学数学科学学院高等数学复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20m ，较长的底边和水面相齐。计算闸门的一侧所受的水压力。
【答案】如图建立坐标系，则过A 、B 两点的直线方程为的变化范围为[-20, 0]，对应小区间[y，y+dy]的面积近似值为因此水压力为
，取Y 为积分变量，Y
，γ表示水的密度，
图
2． 设质量为100kg 的物体从点
【答案】
3． 讨论方程
【答案】取函数令当当从而
, 得驻点时, 时, 为最大值, 又
, 因此函数, 因此函数
, 在在
内单调增加;
内单调减少。 , 故当
（其中a>0）有几个实根?
,
（3, 1, 8）沿直线移动到点
，计算重力所作的功（1, 4, 2）
（坐标系长度单位为m ，重力方向为z 轴负方向）.
即当实根。
当根。 4． 计算
时, 曲线
, 即
与x 轴仅有一个交点, 这时, 原方程有惟一实根。 时, 曲线
与x 轴有两个交点, 这时, 原方程有两个
,
即时,
曲线与z 轴没有交点, 这时, 原方程没有实
，其中是：
及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面; 被平面z=0和z=3所截得的部分。
1和
2组成，其中
1为平面
（1）锥面（2）锥面【答案】（1）由面
在在
1上，2上，
2在
z=1上被圆周所围的部分；2为锥
xOy 面上的投影区域D xy 均为
。
1和
因此
（2）由题设，的方程为
，则
又由于是
5． 已知函数序列
（1）问（2）证明
取多大，能使当
在
在任一有效区间[a, b]上一致收敛。
和z=3消去z 得，故在xOy 面上的投影区域D xy 为
，
上收敛于0.
时，与其极限之差的绝对值小于正数ε？
【答案】（1）由于当
就有（2）记
则
，因此对于正数ε，取则
于是
故取当时，对一切都有
即在上一致收敛于0.
6． 将下列函数展开成x-1的幂级数，并求展开式成立的区间：
【答案】（1）当
时，因
而
在以上二项展开式中取
并用x-1替换其中的x ，得
（2）
利用
将上式中的x 换成x-1，得
二、证明题
7． 根据定义证明：函数
【答案】因为
为当
时的无穷大，问x 应满足什么条件，能使，要使
，只要
，即
？ ，所