2016年上海理工大学管理学院高等数学复试复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设函数f （x ）连续且横大于零，
其中
（1）讨论F （t ）在区间（2）证明当t>0时，
【答案】（1）利用球面坐标，有
利用极坐标，有
内的单调性； 。
于是
求导得
所以在区间
内，
，故F （t ）在
内单调增加。
所以
2
（2）因为f （x ）为偶函数，故
要证明t>0时，
，即证
只需证当t>0时
，
。由于
所以H （t ）在因此当t>0时，有
2． 求过点（3，0，﹣1）且与平面3x －7y ＋5z －12=0平行的平面方程.
【答案】所求平面与已知平面3x －7y ＋5z －12=0平行. 因此所求平面的法向量可取为n=（3，，设所求平面为 ﹣7，5）
3x －7y ＋5z ＋D=0 将点（3，0，﹣1）代入上式得D=﹣4. 故所求平面方程为 3x －7y ＋5z －4=0
3． 一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面所围成。
（1）求物体的体积; （2）求物体的质心;
（3）求物体关于z 轴的转动惯量.
【答案】（l ）如图所示，由的对称性可知
和平面z=0, │x │=a, │y │=a
内单调增加，又H （t ）在
上连续，故当t>0时
，
且
图
（2）由对称性可知，质心位于z 轴上，故
。
（3）
4．
设
在
的某邻域内具有三阶连续导数,
如果
, 不妨设时
,
时
时,
为曲线的拐点。
5． 设u （t ）是周期为T 的周期函数。已知它的傅里叶级数的复数形式为
试写出u （t ）的傅里叶级数的实数形式（即三角形式）。 【答案】由题设知因
可见
而c n 为实数，故
,
而,
试问
是否为拐点? 为什么?
【答案】已知在3>0,
当
,
从而当
凸的, 当
, 由于, 故
在
,
即函数
, 即函数f （x ）在
在
的某个邻域内连续, 因此必存内
在
单调增加。又己
知
内的图形是
内的图形是凹的,
所以点
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