2016年山西师范大学物理与信息工程学院951高等数学复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设a>1, 最小值。
【答案】由考察函数
, 得惟一驻点
, 在a>1时的最小值。令
得惟一驻点, 最小值。
2． 求对数螺线
【答案】
3． 求均匀曲面
【答案】设质心位置为在xOy 面上的投影区域
的质心的坐标。
。由对称性可知质心位于z 轴上，故
。由于
。
, 当
,
；当
时,
, 因此
为极小值, 也是
。
在
内的驻点为x （a ）。问a 为何值时, x （a ）最小? 并求出
相应于的一段弧长。
又的面积
，故
所求的质心为
4． 已知动点M （x ，y ，z ）到xOy 平面的距离与点M 到点（1，﹣1，2）的距离相等，求点M 的轨迹的方程.
【答案】根据题意知
即
5． 设一平面垂直于平面z=0，并通过从点（1, ﹣1, 1）到直线的方程.
【答案】直线
的方向向量
的垂线，求此平面
为点M 的轨迹的方程.
作过点（1, ﹣1, 1）且以s=（0，﹣1, ﹣1）为法向量的平面
联立
，得垂足
.
. 平面过点（1, ﹣1, 1
）及垂足
所求平面垂直于平面z=0，
设平面方程为
，故有
由此解得B=2D，A=D.因此所求平面方程为
6． 设a 【答案】根据定积分几何意义, 取得最大值? 表示的是由 , 以及x ，即 轴所围成的图形在z 轴上方部分的面积减去x 轴下方部分面积。因此如果下方部分面积为0, 上方部分面积为最大时, 知 答:计算 的值最大, 即当a=0, b=1时, 积分 取得最大值。已 , 试用抛物线法公式（6）求出并列表 的近似值（取n=10, 计算时取4位小数） 按抛物线法公式（6）, 求得 二、证明题 7． 求过点（1, 2, 1）而与两直线 【答案】两直线的方向向量为 取 ，以n 为法向量的平面方程为 则过点（1, 2, 1） 即 8． 设在半平面x>0内有力 构成力场，其中k 为常数， 和 平行的平面的方程. 证明：在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。 【答案】半平面x>0是单连通区域，在此区域内，数，且 故在此区域内，场力F 沿曲线L 所作的功，即 与路径无关。 具有一阶连续偏导
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