2017年北京邮电大学理学院601数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1. 设
在
上连续,在
内可导
【答案】令
,则
且
由此推出
下面分两种情况讨论: 第一种情况,使得
第二种情
况知
.
使得
. 现在对
使得
2. 证明
:
【答案】令
则
原式
对上式右端第二个积分,作变换
原式
这里用到了在
3. 在[0,1]上定义函数列
证明级数【答案】由
在[0, 1]上一致收敛,但它不存在优级数. 定义可得
则有
故
即得
在
上用罗尔定理,有
从而本题也得证.
即得
.
则
根据罗尔定理,有
从而本题得证. 与
异号,于是根据连续函数的中间值定理可
. 求证:
使得
从
而时,
有
及
有
恒成立. 所以对于任
意
取
当n>N时,对任意的
由柯两准则知,级数而正项级数优级数 4. 设
证明:【答案】因处
设
即A+C, = 0, 而
所以
即可.
在[0,1]上一致收敛. 若
发散,
这与
存在优级数. 特别取,有
不存在
发散.
所以级数为优级数矛盾,因此级数
在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数,有
的最大值、最小值只能在区域的边界上取得.
在有界闭区域D 上连续,故由连续函数的最值性知f (x ,y ) 在D 上一定可取
得最大值和最小值,下证f (x ,y ) 在D 的内部不能取得极值,这里只需证明在D 内任何点(x, y )
对D 内任何点(x,y ) , 由于. 故又
.
故f (x , y) 不可能在D 内部取得极值,f (x , y) 的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.
二、解答题
5. 设
【答案】
存在的充要条件是
于是
要使这个等式成立,当
且仅当
于是
6. 设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为
试确定
的值,使在
处可导.
D 的面积为
为D 内任一点,证明
【答案】设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为因此
考虑
则
所以
由于
,因此
。所以
同理可证
7. 求
【答案】由分部积分可得
令
则
所以
故得
8. 试确定的值,使下列函数与当
【答案】(1)因为
所以,当(2)因为当所以,当
(3)
,得到
时为同阶无穷大量:
与
时,
时
与
当
时为同阶无穷大量.
当
时为同阶无穷大量.
时,
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