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2017年北京邮电大学理学院601数学分析考研强化模拟题

  摘要

一、证明题

1. 设

上连续,在

内可导

【答案】令

,则

由此推出

下面分两种情况讨论: 第一种情况,使得

第二种情

况知

.

使得

. 现在对

使得

2. 证明

:

【答案】令

原式

对上式右端第二个积分,作变换

原式

这里用到了在

3. 在[0,1]上定义函数列

证明级数【答案】由

在[0, 1]上一致收敛,但它不存在优级数. 定义可得

则有

即得

上用罗尔定理,有

从而本题也得证.

即得

.

根据罗尔定理,有

从而本题得证. 与

异号,于是根据连续函数的中间值定理可

. 求证:

使得

而时,

恒成立. 所以对于任

当n>N时,对任意的

由柯两准则知,级数而正项级数优级数 4. 设

证明:【答案】因处

即A+C, = 0, 而

所以

即可.

在[0,1]上一致收敛. 若

发散,

这与

存在优级数. 特别取,有

不存在

发散.

所以级数为优级数矛盾,因此级数

在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数,有

的最大值、最小值只能在区域的边界上取得.

在有界闭区域D 上连续,故由连续函数的最值性知f (x ,y ) 在D 上一定可取

得最大值和最小值,下证f (x ,y ) 在D 的内部不能取得极值,这里只需证明在D 内任何点(x, y )

对D 内任何点(x,y ) , 由于. 故又

.

故f (x , y) 不可能在D 内部取得极值,f (x , y) 的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

二、解答题

5. 设

【答案】

存在的充要条件是

于是

要使这个等式成立,当

且仅当

于是

6. 设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为

试确定

的值,使在

处可导.

D 的面积为

为D 内任一点,证明

【答案】设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为因此

考虑

所以

由于

,因此

。所以

同理可证

7. 求

【答案】由分部积分可得

所以

故得

8. 试确定的值,使下列函数与当

【答案】(1)因为

所以,当(2)因为当所以,当

(3)

,得到

时为同阶无穷大量:

时,

时为同阶无穷大量.

时为同阶无穷大量.

时,