当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

(1)

(2) 计算重积分' 【答案】(1) 令S 为由对称性显然可得

而

所以

(2) 利用(1) 的结果得

2． 设函数f 在

(1) f 在(2) 若存在

【答案】(1) 令

因为f 在(a , b ) 连续，所以F (x ) 在界，即f 在(a , b ) 上有界.

第 2 页，共 42 页

证明：

与

为有限值. 证明：

则f 在(a , b ) 内能取到最大值；

上连续，且内有界；

使得

(3) f 在(a , b ) 上一致连续.

连续•因此F (x ) 在[a, b]上有界，所以F (x ) 在(a , b ) 上亦有

(2) 因为F (x ) 在[a, b]上连续，所以F (x ) 在[a, b]上能取到最大值. 又因为

即

在(a , b ) 内取得，即f (x ) 在

(3) 由(1) 知

在

3． 证明下列不等式：

【答案】(1)

内能取到最大值. 上连续，所以F (x ) 在

所以F (x ) 在

使

上的最大值可以

上一致连续. 显然f (x ) 在(a , b ) 上一致连续.

所以有

(2)

所以有

二、解答题

4． 设

存在

，

则

即

【答案】由令

对x 求导，有

5． (1) 求

(2) 求(3) 求

点的幂级数展开式；

的和； 的和.

第 3 页，共 42 页

【答案】(1) 任意相乘，记

是一绝对收敛的级数. 由于绝对收敛级数可以

则有

其中

即得

(2) 对

展开的幂级数，用阿贝尔引理得

(3)

6． 若一元函数

在

上连续，令

试讨论f 在D 上是否连续？是否一致连续？ 【答案】先讨论f 在D 上的连续性.

任取

且因此当

因为

时，有

且

时，

第 4 页，共 42 页

在上连续，

从而

对连续，

对任给的

存在

使当