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一、证明题

1． 证明下列结论：

(1) 若(2) 设在

而数列

在与

上严格递增，且对在

则

上有定义，

单调，对任意正整数

(正常数) ，

即数列

也不以

为极限，矛盾，于是

再证：当

由

时有

(反证法) 若结论不成立，即存在

于是

矛盾. 从而当

2． 设函数f 在(a , b ) 上连续，且

【答案】在(a , b )

内任取一点

使得

同理，存在

时有

使得当

时，有

由f 在(a , b ) 上连续可知，f 在区间在

上有最小值点

即存在

上连续，由闭区间连续函数的最值定理知，f

对一切

都有

由式①，②，③知，f 在(a , b ) 内能取得最小值.

3． 设

在

上有一阶连续导数，证明存在

使

【答案】令

则

在

上有二阶连续导数. 对

在上式中取

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有

则. 使得

不以

则 已知

从而

有为极限，从

【答案】(1) 假招

上严格递增，所以

有

的子列

知

时有

使得

即

(2) 不妨设单调递增. 对

即

单调递増，则有

时有证明f 在

内能取到最小值.

则存在

，

因为取

应用泰勒公式，有

即得

4． 证明公

式

【答案】因

其中S 是包围V 的曲面，n 为S 的外法线方

向

而

则由第一、二型曲面积分的关系及高斯公式可得

因此公式成立。

二、解答题

5． 求a 、b 使下列函数在x=0处可导：

【答案】由于函数在x=0处可导，从而连续；

由又由

6． 设

其中

表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明

只有有限个点

使

在X 为有理数划

因此

在D 上的二重积分存在而两个累次

因而存在一个分割T , 使

得

得到b=l: 得到a=0.

积分不存在.

【答案】因为对任何正

数当y 取无理数时，

然而，当y 取有理数时，在X 为无理数处函数

在任何区间上的振幅总大亍

同理可证先y 后x 的累次积分不存在.

7． 求螺旋线

【答案】则

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以二重积分存在且等于零.

即函数上关于X 的积分不存在. 显

然就不存在先x 后y 的累次积分.

对轴的转动惯量，设曲线密度为

8． 设C 是柱面计算曲线积分

【答案】由斯托克斯公式得

与平面

的交线

a 从x 轴正向看为逆时针方向，

I.

9． 设

【答案】对当

取

讨论

即

时，有

，

于是，由，

数存在； 记

当

时，因

可知

不可微.

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在原点处的连续性、偏导数存在性及可微性.

属于(0, 0) 的艰域

在原点处连续；

及

知

在原点处的两个偏导

不能写成的形式，即在原点处