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一、证明题

1． 设曲面z=f(x , y ) 二次可微，且要条件是：

【答案】

为一条直线即由f (x ，y ) =c所确定的隐函数y=y(x ) 在XOy 平面上表示

而

故

由此可见，命题成立.

2． 证明：(1) 设在

(2) 设在【答案】(1) 设因为(2) 把函数其中

线段方程组的系数矩阵为A ，则

上可导，若上n 阶可导，若

和

都存在，则都存在，则

由拉格朗日中值定理得

都存在且相等，

所以有

在点x 处展开为把

故

阶泰勒公式得

看作未知数，解上述线性方程组. 设这个

证明：对任给的常数c ，f (x ，y ) =c为一条直线的充

一条直线. 显然，y=y(x ) 是一条直线

由范德蒙行列式的求值公式知

，

的线性组合. 由存在(其

中

根据(1) 的结论，

由

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于是

，

存在可得

于

是

可以表示

为

存

在

的存在性可知

二、解答题

3． 若

【答案】由

计算

知

4． 若

【答案】

问对于

之差分别是多少？

5． 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：

其中L 为

所围平面区域上侧在曲线的左侧；

其中L 为

所交的椭圆的正向；

其中L 是以

点的三角形沿ABCA 的方向。

【答案】(1) 记L 为曲面

的边界，由斯托克斯公式知

且

同理

因此原积分=0。

(2) 记L 为该椭圆的边界，则

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与三坐标面的交线，它的走向使

为顶

其中S 为所交椭圆面，

是S 在

面的投影。

6． 设

【答案】作分割使得

其中介于设变化，两边取

上确界得到

由此推出

令限得

因此

7． 设f 为可导函数，求下列各函数的一阶导数：

【答案】 （1）

（2）

因为

所以

由此，令

对（3）式取极

与

之间. 因为可积函数一定有界，所以可设与

在

上的振幅，在公式（2）中，让

于是由（1）式得

在

上

求证：

设

。则根据微分中值定理

，

分别表示

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