2017年山西师范大学教育科学研究院809数学综合[专业硕士]之数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.
【答案】不妨设若
取
同样，若若
有
且满足因为f (x ) 在由于
2． 求证:
(1)
若(2)
若
则则
，所以对任给定
存在m ，当
时，便有
于是，对
取
得证；
若
如此继续可得闭区间套
且
故有
处连续，故
所以
取满足
于是由闭区间套定理知存在惟一的
于是
若
若
得证；
取
于是
有
【答案】(1) 因为有
注意到，当取定时，这样，当
时，有
从而(2) 因为
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便是一个有限数，再取
使得当时，有
对
3． 设
在
应用第(1) 小题结论，
即得
上可导，且
使得
【答案】用上例的思路来证明之. 令
以及
显然得一点
使
.
再在
如此下去，可以求出
在每一个小区间. 上，对即
亦即
将上式对
从到n 求和，可得
4． 证明：若
【答案】由
又因为
数列
也有上界. 设正数
和
为递增数列，
为递减数列，且
则
与
都存在且相等.
f 上界，因而
•
取上对
•
在
. 使得
应用拉格朗日中值定理，存在
上对
应用介值定理，可以求
使
总之，我们有
，使得
应用介值定理，
又可求得一点
为n 个正数. 证明在区间
内存
在一组互不相等的数
可知，数列为递减数列，所以是
的一个上界. 由
是有界数列，设正数M , 使得对一切n ，
于是，数列
可得
与
都存在. 再由
综上所述，得
都是单调有界的，所以
二、解答题
5． 应用高斯公式计算下列曲面积分：
其中S 为单位球面
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的外侧；
其中S 是立方体其中S 是锥面
面，方向取外侧；
其中S 是单位球面其中S 为上半球面
【答案】
由柱面坐标变换
(4) 原式
(5) 原曲线不封闭，故添加辅助曲面
有
的表面的外侧；
与平面
所围空间区域
的表
的外侧；
的外侧。
6． 计算
【答案】由分部积分公式有
于是有
而
故
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.
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