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一、证明题

1． 证明：若

【答案】

由单调递增数列.

进一步，由由设

2． 证明：若f 在

【答案】

设

这与题设矛盾. 故 3． 设

收敛

，

单调递增且有上界，知

则有

上连续，且对任何

设即f

在证明

：

的前n

项和

则

对上式两边取极限，从而

即

4． 设

证明：

并讨论备不等式中等号成立的条件和解释【答案】由三角不等式有

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则数列

的构造，

知

得收敛.

所以

收敛，并求其极限.

，可推出

为严格

即则f 在由题设

知

上恒正或恒负.

假

如

使得

那

么

异号，由根的存在定理知，在区间

上恒正.

内至少存在一点

时同理可证f (x ) 恒负.

【答案】记级数

时的几何意义。

即

又

即

所以丨

等号成立的条件为

(k 为实数) ，当

时等式的几何意义

为：任一三角形中一边大于或等于另外两边之差。

二、解答题

5． 设曲线方程

【答案】

（1

）为

即

（2）

于是曲线在

处的切线方程为

法线方程为

6． 讨论函数

（1）在【答案】⑴

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求它在下列点处的切线方程与法线方程：

于是曲线在点

法线方程为

即

处的切线方程

即

点是否可导？

的一个邻域，使f 在该邻域内单调？

（2）是否存在

故

在

可导. 时，

对一切正整数k 有，的任何邻域内都不单调。

7． 计算下列各题：

（1）（2）（3）【答案】 （1）

因为

所以

在

（2）当

（2）（3）

8． 讨论广义积分

【答案】改写

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的收敛性与绝对收敛性.