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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.

记

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由题设知，所以

2． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此 3． 设

A.

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则A=（ ）.

均为n 维列向量，A 是

线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）.

线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

线性相关，所以线性相关，故选A.

于是

阶矩阵若矩阵A 的秩为则a 必为（ ）

B. C. D.

秩

或

秩

秩A , 则线性方程组（ ）.

故

【答案】B 【解析】

但当a=1时，

4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】

5． 齐次线性方程组

阶方阵，且秩

有无穷多解 必有惟一解

必有非零解

秩

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C.

时，

由

，用

使

则（ ）.

右乘两边，可得

由

左乘

这与可得

矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，

二、分析计算题

6． 设V 是数域P 上线性空间, 是V 上线性变换,

（1）（2）若【答案】（1）

则

则

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证明:

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所以

且由

知

此即故①式成立.

（

2）因为所以存在

有

从而有

（i ）先证

有

且由③可得

其中故

此即同理, 有

故

此即

再由①, ⑥得证④式. （ii ）再证

有

于是由③有

即证⑦式成立再由④, ⑦即证②式成立.

7． 用正交变换，将二次曲面

化为标准形

. 【答案】令

式左端的二次型为

其相应矩阵为A , 则

计算可得所以A 的特征值为

当时，得特征向量

当时，得特征向量

由于

已经正交，再单位化即得

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