2018年河南科技大学数学与统计学院856高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,
则有（ ）.
A. 交换A 的第1列与第2列得B B. 交换A 的第1行与第2行得B C. 交换A 的第1列与第2列得- B D. 交换A 的第1行与第2行得- B 【答案】C
【解析】解法1:题设又
所以有
即题设
因此
即
右乘初等阵
所以
得
解法2
所以有
*
*
*
*
*
*
*
*
【答案】C 【解析】而
. 则
也不是线性变换，比如给
,
与分别为A , B 的伴随矩阵，
3． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则. 则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】未知量个数有零解.
4． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
5． 设行列式
其中
则PAQ=B
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
为A.1 B.2 C.3 D.4
，则方程，
的根的个数为（ ）
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
二、分析计算题
6． 设W 是
的实系数多项式全体所组成的线性空间, 求
【答案】设A 的最小多项式次数为k , 则
的次数为k 矛盾）.
线性无关（否则, 与A
的最小多项式
当则有
故’
时, 令
即
.
可由
线性表出. 又
或时
,
显然可由
线性表出.
线性
表出, 从而A 的任一多项式可由
7． 设二次型
其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1, 特征值之积为（1）求a , b的值；
（2）利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【答案】解法1（1）二次型f 的矩阵为
设A 的特征值为
由题设，有
解之得
.
（2）由矩阵A 的特征多项式
得A 的特征值对于对于由于令矩阵
解齐次线性方程组
解齐次线性方程组已是正交向量组，因此将
得其基础解系
得基础解系
单位化，可得
则Q 为正交矩阵. 进而，在正交变换
下，有
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