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一、填空题

1． 二次型

【答案】2

【解析】二次型的秩即其矩阵的秩，该二次型矩阵

2． （1）线性方程组

（2）若A 是（3）设n 维向量（5）令

显然r （A ）=2

的秩为_______

有解的充分必要条件是_____

矩阵，秩A=r秩B=s, AB=0则n , r , s 的关系是_____

由向量组

线性表示，则

一定_____

（4）秩A=r则A 的所有r+2级子式=_____而A 的所有r 级子式_____；

Q 为可逆阵，则A 的广义逆G 必是形式为_____的矩阵；

（6）两个n 级方阵A 与B 是合同的，则B=_____ （7）设V 1, V 2是V 的子空间，维V 1=维V 2=m, 维（8）在空间【答案】（1）秩

（2）

（3）线性相关.

（4）0; 至少有一个不为0. （5）（6）

（7）（8）0； P 【解析】（3）因为

线性相关.

（5）令

那么

（7）因为维（8）取

的一组基为

维

维则

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则维（V 1+ V2）=_____

则D 的特征值是_____，D 的核是_____

中，线性变换秩

，其中T 为n 级可逆阵.

可由

线性表出，所以秩

秩

此即

维

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D 的特征值全为0, 且

3． 已知方程组

【答案】

-1

【解析】

且已知原方程组无解秩

秩

（因为常数的导数等于0）.

无解，则a=_____.

，

此即

4． 设

E 是4阶单位矩阵.

则

_________

【答案】【解析】

二、判断题

5． 设

均为n 阶方阵，

（ ）

也是数域，其中

（ ）.

【答案】错误. 【解析】比如

6． 设Q 是有理数域，则

【答案】正确.

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则

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【解析】首先故

故P 非空；其次令其中

为有理数，

又令其中为有理数且即有

综上所述得P 为数域.

三、分析计算题

7． 称以下行列式为循环行列式. 证明:

»

其中

【答案】设为n 次原根且n 阶范德蒙德行列式，则易知

为n 次单位根.

，又设是第二行元素是

的

因为 8． 设

，故.

，其中

由行列式定义，说明由行列式性质，求

是一个的根.

是互不相同的数

.

次多项式；

而且

的

的系数为

【答案】的展开式中，各项的最高次数为

所以

是一个的根为

次多项式

.

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