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一、分析计算题

1． 求多项式

在复数域和实数域上的标准分解式.

有

个复根

故

（2）在实数域范围内

.

又

当n 为奇数时，

恰有一个实根

，因而

当n 为偶数时，因而

2． 判别下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是:

（1）在线性空间V 中，（2）在线性空间V 中，（3）在中，（4）在

中,

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【答案】（1）在复数范围内

有两个实相

，其中，其中

是一固定的向量; 是一固定的向量;

;

（6）在（8）在

中，中，

时，

，其中，其中，有

;

是一固定的数;

是两个固定的矩阵.

（7）把复数域看作复数域上的线性空间，【答案】 （1）当

故是线性变换. 当但这时当

不是线性变换.

时是线性变换.

，故不是线性变换.

故

不是线性变换. （4）由

易知

. 故

（5）由于

知

故

是

上线性变换.

（6）由于

故有

即

是线性变换.

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，则有

t

.

（2）当

时，

（3）计算下面式子

.

及

是线性变换

（7）不是，例

3． （1）证明

：

其中

为可逆方阵A 的伴随矩阵；

（2）设A 为实对称阵，A 的秩为r ，证明：A 可表为r 个秩为1的对称方阵之和 【答案】 （1）本题中假设A 为可逆方阵，实际上对任意竹阶方阵A 都有

（i ）当A 可逆时，由于（ii ）当A 不可逆时，（2）

两边取行列得这时秩

使

其中所以

为A 的全部特值. 因为秩

，不妨设

而

从而也有

从而存在正交阵

其中

则

4． 设

，秩

是实系数多项式，且

（1）

（2）

则能被整除. ，整理有

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【答案】证法

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