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一、分析计算题

1． 在给定了空间直角坐标系的三维空间中, 所有自原点引出的向量添上零向量构成一个三维线性空间R

（1）问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间；

（2）设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间

能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来.

（3）就用几何空间的例子来说明:若有

【答案】 （1）若原点在所指的平面上，则终点在该平面上的全部向量构成子空间. 若原点不在该平面上，则零向量的终点不在该平面上，因而不在此向量集合中. 故该集合不能构成子空间.

（2）设空间为Li.1°考察

当当间.

考察当当

则因而

间.

当维空间.

且因维

（3）不一定成立. 例取过原点的不重合的两直线子空间U 和V 条直线1，它不与

是重合.

.

不共面时，各取上的一个非零向量

空间中任一向量是这三个不共=三维几何空间的全部向量. 构成三

是直和.

和上的全部向量分别构成两个一维

决定的平面上全部向量组成的二维子空间. 再取此平面上过原点的一

面的向量的线性组合

.

重合时，

: 重合时，

是平面上不共线的向量

.

由

是一维子空间.

不重合,

各取

上一个非零向量

的线性组合，

故

是二维子空

在

所在的平面上必是结果

在同一平面上，但不全重合时，

不妨设

是过原点的三条直线（可以有重合的）,

是一维子空间.

,

因而

是直和，它是二维子空上全部向量作成的子

是子空间，满足

是否一定

问

3

不重合时，只交于原点，故

令它上面的全部向量构成能子空间为Y . 由（2）题

2． 用表示将行列式D 的第i 行列式，其中

换成（其余行不变）后所得的行

证明:【答案】用故

将D 的第列且按此列展开知：

3． 设

表示在D 中的代数余子式

元素都换成1后（从而第j ，n 列相同） 又显然

故

，则

是秩为1的n 阶实对称方阵. 证明：存在特殊实上三角形方阵P 使

的充要条件是

式

，

【答案】设（4）成立. 由上题知

：由此得反之，

设对n 用归纳法. 当论显然；故设

并令

且

有相同的顺序主子式，即

下证（4）成立.

时显然. 假定对n-1成立，下证对忍成立：若

则

为顺序主子

即结

则有

其中B 为

阶对称方阵. 由上题知，A

与

有相同的顺序主子式，故

其中时，

是B

的

得

阶顺序主子式.

当时从而

阶特殊上三角形方阵

当使

于是由归纳假设，存在

易知是特殊上三角形矩阵且令得

4． 设A 为非零矩阵，但不必为方阵，证明

【答案】设A 为

如果则有

所以

又从而可得

如果任取一个非零解所以 5． 设

其中

为两个非零多项式且.

证明:存在多项式

使

有解当且仅当必有其中E 为单位矩阵.

矩阵

. 即

有解

所以有

即

则线性方程组

有解.

有非零解. 则有

且

即

矛盾.

可知A 存在可逆矩阵，即

（1）

或

去除

次，但，设

. 或

若

次，则结论已对；若

次，再用g 除，设

（3）

将（3）代入（2）, 得

若

可再用g

去除

. 如此下去，

由于

而且这种表示法唯一.

（2）

【答案】先用

的次数逐次降