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一、分析计算题

1． 设

（1）证明：

（2）求 A100.

【答案】 （1）用数学归纳法，当

时，有

即①式对

成立.

成立，即

③式两边同乘A ，并注意②式，则有

即①式对（2）由①式

2． 设是数域K 上3维向量空间V 的一个线性变换, 在V 的一组基

（1）求出V 的一组基, 使A —在此组基下的矩阵为对角阵； （2）求3阶可逆矩阵T , 使

成为对角矩阵.

【答案】 （1） A 的特征多项式为

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归纳假设结论对

也成立，从而得证①式成立.

下的矩阵为

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所以A 的特征值为当当再令

时, 由时, 由

得基础解系得基础解系

则

令

则

由①式知

线性无关, 从而也是V 的一组基,

且A 在基

（2）由于A 在两组基下矩阵是相似的, 所以

3．

已知A , B, C是n 阶矩阵，

A 可逆，并且

（1）

证明

可逆，并求其逆。

由 Hamilton-Caylay 定理知

由A 可逆，则

于是

上式两边左乘C , 右乘B , 得

（2）

注意到A 可逆，由

第 3 页

，共 45

页

下的矩阵为对角阵:

【答案】设A 的特征多项式为

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故因为

可逆.

所以

4． 计算下列矩阵的秩：

【答案】用初等行变换将矩阵化为阶梯形，这时秩不会改变

.

这阶梯形有4个非零行，秩为

4.

秩为

3. 秩为

2. 秩为

3. 秩为5.

5． 已知个向量

证明:

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线性相关，但其中任意个都线性无关，