2018年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]考研核心题库
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2018年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]考研核心题库（一） . 2 2018年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]考研核心题库（二） . 8 2018年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]考研核心题库（三）13 2018年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]考研核心题库（四）19 2018年浙江师范大学教师教育学院904数学分析与高等代数[专业硕士]考研核心题库（五）25
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一、分析计算题
1． （替换定理）. 设向量组
且在所得的向量组
r=1时【答案】我们对r 作归纳法，设为
由
，至少一个
不妨设为
则
由此易知现设不妨设
为
等价.
又
能由
则则
为且
由此易
知
等价. 这就完成了归纳法.
2． 把向量表成向量
的线性组合：
【答案】
设
按各分量写出等式，得方程组
对它求解，得
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线性无关，且可经向量组
在用等价.
可由
与
线性无关. 这时
线性表出，
则替代它们后
线性表出，
. 中存在r 个向量，不妨设就是
与
且定理对
等价.
为r 个无关的向量的情形.
这时且存在
中的
个向量，
与，不全为
线性表出. 由归纳假设
的情形已成立. 我们来讨论在
用
无关，且能由
替代后所得的向量
组
线性表出，设线性无关矛盾. 故
线性表出，就能由
的线性组合，与
这时若所有零，不妨设
与等价也就
与
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故
（2）设
按各分量写出等式，得方程组
下的矩阵为
求T 的特征值和相应的特征向量；又问
:A 可否对角化（即与对角矩阵相似）？若可对角化, 求C 使
为对角矩阵.
故得T （即A ）的特征值为
②解
以其为坐标的向量征向量为
其中
为K 中不全为零的任意数.
得
于是
k 为K 中任意非零数.
③由上面的②可知, V 是三维空间, 且T 有三个线性无关的特征向量作基, 故A 可对角化. 例如, 取特征向量
作基, 则由基
到基
的过渡矩阵为
于是得
为其一基础解系. 因
再解方程组
与
故有一基础解系为
是T
的属于特征值1的线性无关的特征向量. 而属于1的全部特
【答案】①易知T （即A ）的特征多项式为
对它求解得故
3． 设V 是数域K 上三维空间、,
又V 的线性变换T 在基
此, T 的属于特征值-1的全部特征向量为
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4． 计算
【答案】
（1）
由于
，
所以
得
5
．
设
均为n
维线性空间V 的线性变换,
若
则与有公共的特征值和特征向量. 【答案】设记
则由维数定理, 得
故共的特征值.
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（2）
式（1）、式（2）联立，消去
取则故是的公共的特征向量, 0是公
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