2017年中南民族大学数学与统计学院601数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设f 在
(2
)
【答案】(1) 由得
并且对一切
故f 在R 上连续. (2) 对整数
有
所以
于是对任何有理数r 有上连续，有
2． 求证
：
(2) 序列【答案】(1) 令
是最小值点
(2) 显然序列第(1)
小题，有
单调递增，为了证明极限
对任何无理数
故对任何
的极限存在.
，则有.
存在，只要肯定序列
有上界即可. 为此利用
且
存在有理数列
使
由f 在R
连续，且对任何
可知
于是
由f 在x=0连续可
有
证明：
(1) f 在R 上连续；
二、解答题
3． 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限：
【答案】(1) 因为所以
(2) 因为所以
4． 应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：
⑴(3
)
时，
(2)
因
故
从而
级数收敛.
(3) 注意到数列
单调递减且
故只需考察级数
的部分和数列
即级数
(2)
则
故f (x ) 单调且有界，因此数列
从而级数
； 又
故
关于n 单调有界. 又级数
时
，
【答案】(1)
记
收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛.
的部分和数列
即有界. 又时，数列单调递减且由狄利克雷判别法知原
的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知原级数收敛.
5． 设有一半径为R 的球体，是此球的表面上的一定点，球体上任一点的密度与该点到离的平方成 正比(比例常数
) ，求球体的重心位置.
以的球心为坐标原点0, 射线
密度函数为
设重心坐标为
由对称性可知，
而
故
因此球体的重心位置为方法二选取
【答案】方法一记所考虑的球体为
的距
为x 轴的正向建立坐
标系，则点的坐标为(R ，0，0) ，球面方程为
为坐标系的原点，球心坐标为(0，0，R ) ，则球面方程为
而此时密度函数为
设重心坐标为
由对称性知，
而
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